Matemáticos descubren una nueva forma de contar números primos

Una nueva prueba ha acercado a los matemáticos un paso más a la comprensión del orden oculto de esos “átomos de la aritmética”, los números primos.

Los números primos (números que sólo son divisibles por sí mismos y por el 1) son los elementos básicos de las matemáticas. También son los más misteriosos. A primera vista, parecen estar dispersos al azar en la recta numérica, pero, por supuesto, los primos no son aleatorios. Están completamente determinados y, si los examinamos más de cerca, revelamos todo tipo de patrones extraños que los matemáticos han pasado siglos intentando desentrañar. Una mejor comprensión de cómo se distribuyen los primos iluminaría vastas franjas del universo matemático.

Pero, aunque los matemáticos tienen fórmulas que dan una idea aproximada de dónde se encuentran los números primos, no pueden localizarlos con exactitud, por lo que han tenido que adoptar un enfoque más indirecto.

Alrededor del año 300 a. C., Euclides demostró que hay una cantidad infinita de números primos. Desde entonces, los matemáticos han desarrollado su teorema y han demostrado la misma afirmación para los primos que cumplen criterios adicionales (un ejemplo sencillo: ¿hay una cantidad infinita de primos que no contienen el número 7?). Con el tiempo, los matemáticos han ido haciendo que estos criterios sean cada vez más estrictos. Al demostrar que todavía hay una cantidad infinita de primos que satisfacen estas restricciones cada vez más rígidas, han podido aprender más sobre dónde se encuentran los primos.

Pero este tipo de afirmaciones son muy difíciles de probar. “No hay muchos resultados como ese”, dijo Joni Teräväinen de la Universidad de Turku en Finlandia.

Ahora, dos matemáticos... ben verde de la Universidad de Oxford y Mehtaab Sawhney de la Universidad de Columbia, han demostrado exactamente esa afirmación para un tipo de número primo particularmente difícil. Su prueba, que fue publicado en línea El proyecto, que se llevará a cabo en octubre, no sólo agudiza la comprensión de los matemáticos sobre los números primos, sino que también hace uso de un conjunto de herramientas de un área muy diferente de las matemáticas, lo que sugiere que esas herramientas son mucho más poderosas de lo que los matemáticos imaginaban y que podrían tener aplicaciones en otros ámbitos.

 “Es fantástico”, dijo Juan Friedlander de la Universidad de Toronto. “Realmente me sorprendió que hicieran esto”.

Un conjunto de pruebas

Los matemáticos tienden a estudiar familias de números primos que son lo suficientemente complicadas como para ser interesantes, pero lo suficientemente simples como para poder avanzar en ellas. Por ejemplo, podrían intentar demostrar que hay una cantidad infinita de números primos que están separados por 500 unidades, o que podemos construir una cantidad infinita de números primos sumando los cuadrados de otros números.

Esta última restricción ha sido particularmente útil y ha guiado siglos de progreso matemático. En 1640, Pierre de Fermat conjeturó que hay una infinidad de números primos que pueden formularse elevando al cuadrado dos números enteros y sumándolos. (El número primo 13, por ejemplo, puede escribirse como 2² + 3².) Leonhard Euler lo demostró más tarde. Pero si modificamos un poco la cuestión (insistiendo en que uno de los números que estamos elevando al cuadrado sea impar, tal vez, o un cuadrado perfecto), el problema se vuelve mucho más difícil. “Cuanto más se restringe un conjunto, más difícil es encontrar números primos en él”, dijo Green.

En el siglo XIX, la investigación sobre este tipo de afirmaciones condujo al desarrollo de gran parte de la teoría de números moderna. En el siglo XX, ayudó a inspirar uno de los esfuerzos matemáticos más ambiciosos hasta la fecha, la programa LanglandsY en el siglo XXI, el trabajo sobre este tipo de números primos ha seguido produciendo nuevas técnicas y conocimientos.

En 2018, Friedlander y henryk iwaniec de la Universidad Rutgers preguntó si hay infinitos números primos de la forma p² + 4q², donde ambos p y q También debe ser primo. (Por ejemplo, 41 = 5)² + 4 × 2².) La restricción resultó ser particularmente difícil de manejar. Pero si los matemáticos podían resolver el problema, lograrían ejercer un nuevo nivel de control sobre los números primos, exactamente lo que habían esperado hacer desde el principio.

Una visita fructífera

Ni Green ni Sawhney habían jugado antes a este tipo de juego de contar números primos, pero ambos tenían experiencia en el estudio de los extraños patrones que dan lugar a los números primos.

En julio, los dos matemáticos se conocieron en una conferencia en Edimburgo. Sawhney, que acababa de terminar la escuela de posgrado, siempre había admirado a Green. Un resultado fundamental que Green había demostrado 20 años antes fue “una de las cosas que me atrajeron del tema”, dijo Sawhney. “Pensé: ‘¡Oh, Dios! ¿Cómo pudiste hacer esto?’”. Green también estaba impresionado por el matemático más joven. “Mehtaab es un matemático excepcional, excepcional”, dijo. “De alguna manera lo sabe todo”.

Los dos decidieron colaborar. Solo tenían que encontrar el problema adecuado para trabajar. Después de un breve debate, se decidieron por la conjetura de Friedlander e Iwaniec.

Green invitó a Sawhney a Oxford durante una semana. Sabían que para demostrar conjeturas similares, los matemáticos solían recurrir a un conjunto particular de técnicas de conteo. Pero como los números primos en su problema estaban definidos de manera tan estricta, Green y Sawhney no pudieron encontrar una manera de hacer funcionar este conjunto de herramientas tradicionales.

En cambio, esperaban demostrar la conjetura de una manera más indirecta, haciendo una especie de movimiento matemático de ajedrez. Pero primero, tendrían que demostrar que se les permitió hacer el movimiento en primer lugar.

Al final de la visita de Sawhney, él y Green habían descubierto cómo hacerlo, lo que les permitió demostrar la conjetura. Para ello, terminaron haciendo una sorprendente conexión con otra área de las matemáticas.

Pruebe otro conjunto

A Green y Sawhney no les era posible contar directamente la cantidad de números primos que se formaban elevando al cuadrado otros dos números primos y sumándolos. Pero ¿qué pasaría si relajaran un poco la restricción? Se dieron cuenta de que podían resolver una versión ligeramente más débil de su problema: una en la que los números elevados al cuadrado solo tenían que ser "aproximadamente" primos.

Los números primos aproximados son mucho más fáciles de encontrar que los primos comunes. Digamos que quieres contar todos los números primos aproximados entre 1 y 200. Primero, considera un puñado de los primos más pequeños, como 2, 3, 5 y 7. Luego, enumera todos los números que no son divisibles por esos primos. Estos números son los primos aproximados. En este caso, terminas con 50 números primos aproximados: 46 de ellos son realmente primos, mientras que los cuatro restantes (121, 143, 169 y 187) no lo son. Debido a que los primos aproximados están distribuidos de manera mucho menos aleatoria que los primos, es significativamente más fácil trabajar con ellos. "Los primos aproximados son un conjunto que entendemos mucho, mucho mejor", dijo Sawhney.

Green y Sawhney demostraron que hay una cantidad infinita de números primos que se pueden formar elevando al cuadrado dos primos aproximados y sumándolos. Ahora sólo tenían que demostrar que esta afirmación implicaría el problema que realmente querían resolver: también hay una cantidad infinita de números primos que se pueden escribir como la suma de los cuadrados de los primos reales.

Pero eso no era obvio. Tendrían que analizar un conjunto especial de funciones, llamadas sumas de tipo I y de tipo II, para cada versión de su problema, y ​​luego demostrar que las sumas eran equivalentes sin importar qué restricción usaran. Sólo entonces Green y Sawhney sabrían que podían sustituir números primos aproximados en su prueba sin perder información.

Pronto se dieron cuenta de algo: podían demostrar que las sumas eran equivalentes utilizando una herramienta que cada uno de ellos había utilizado independientemente en trabajos anteriores. La herramienta, conocida como norma de Gowers, fue desarrollada décadas antes por el matemático Timothy Gowers para medir cuán aleatoria o estructurada es una función o un conjunto de números. A primera vista, la norma de Gowers parecía pertenecer a un ámbito completamente diferente de las matemáticas. “Es casi imposible decir, como observador externo, que estas cosas están relacionadas”, dijo Sawhney.

Pero utilizando un resultado histórico demostrado en 2018 por los matemáticos terence tao y Tamara ZieglerGreen y Sawhney encontraron una forma de establecer la conexión entre las normas de Gowers y las sumas de tipo I y II. Básicamente, necesitaban utilizar las normas de Gowers para demostrar que sus dos conjuntos de primos (el conjunto construido con primos aproximados y el conjunto construido con primos reales) eran suficientemente similares.

Resultó que Sawhney sabía cómo hacerlo. A principios de este año, para resolver un problema no relacionado, había desarrollado una técnica para comparar conjuntos utilizando las normas de Gowers. Para su sorpresa, la técnica era lo suficientemente buena como para demostrar que los dos conjuntos tenían las mismas sumas de tipo I y II.

Con esto en mano, Green y Sawhney demostraron la conjetura de Friedlander e Iwaniec: Hay infinitos números primos que pueden escribirse como p² + 4q²Finalmente, pudieron extender su resultado para demostrar que hay una cantidad infinita de primos que pertenecen también a otros tipos de familias. El resultado marca un avance significativo en un tipo de problema en el que los avances suelen ser muy escasos.

Más importante aún, el trabajo demuestra que la norma de Gowers puede actuar como una herramienta poderosa en un nuevo dominio. “Debido a que es tan nueva, al menos en esta parte de la teoría de números, existe potencial para hacer muchas otras cosas con ella”, dijo Friedlander. Los matemáticos ahora esperan ampliar aún más el alcance de la norma de Gowers, para intentar usarla para resolver otros problemas en la teoría de números más allá del conteo de números primos.

“Es muy divertido para mí ver que cosas en las que pensé hace algún tiempo tienen aplicaciones nuevas e inesperadas”, dijo Ziegler. “Es como cuando un padre le da libertad a su hijo y él crece y hace cosas misteriosas e inesperadas”.