IEn junio de 1978, los organizadores de una gran conferencia de matemáticas en Marsella, Francia, anunciaron una incorporación de último momento al programa. Durante la hora del almuerzo, el matemático Roger Apéry presentaría una prueba de que uno de los números más famosos de las matemáticas —“zeta de 3”, o ζ(3), como lo escriben los matemáticos— no podía expresarse como fracción de dos números enteros. Era lo que los matemáticos llaman “irracional”.
Los asistentes a la conferencia se mostraron escépticos. La función zeta de Riemann es una de las funciones más importantes de la teoría de números, y los matemáticos habían estado tratando durante siglos de demostrar la irracionalidad de ζ(3), el número que la función zeta genera cuando su entrada es 3. Apéry, que tenía 61 años, no era considerado un matemático de primera. Tenía el equivalente francés de un acento montañés y una reputación de provocador. Muchos asistentes, asumiendo que Apéry estaba tramando una elaborada broma, llegaron dispuestos a pagarle al bromista con su propia moneda. Como contó más tarde un matemático, "vinieron a causar un alboroto".
La conferencia se convirtió rápidamente en un pandemonio. Sin apenas explicaciones, Apéry presentó ecuación tras ecuación, algunas de las cuales implicaban operaciones imposibles, como dividir por cero. Cuando le preguntaron de dónde provenían sus fórmulas, afirmó: “Crecen en mi jardín”. Los matemáticos recibieron sus afirmaciones con carcajadas, llamaron a sus amigos del otro lado de la sala y lanzaron aviones de papel.
Pero al menos una persona... henri cohen, ahora en la Universidad de Burdeos, salió de la charla convencido de que Apéry tenía razón. Cohen comenzó inmediatamente a desarrollar los detalles del argumento de Apéry; en un par de meses, junto con un puñado de otros matemáticos, había completado la prueba. Cuando presentó sus conclusiones en una conferencia posterior, un oyente se quejó: "Una victoria para el campesino francés".
Una vez que los matemáticos aceptaron, aunque de mala gana, La prueba de ApéryMuchos anticiparon una avalancha de resultados de irracionalidad. Los números irracionales superan ampliamente a los racionales: si eliges un punto a lo largo de la línea numérica al azar, está casi garantizado que sea irracional. Aunque los números que aparecen en la investigación matemática no son, por definición, aleatorios, los matemáticos creen que la mayoría de ellos también deberían ser irracionales. Pero aunque los matemáticos han logrado demostrar este hecho básico para algunos números, como π y ePara la mayoría de los demás números, sigue siendo frustrantemente difícil demostrarlo. Los matemáticos esperaban que la técnica de Apéry finalmente les permitiera avanzar, comenzando con valores de la función zeta distintos de ζ(3).
“Todos creían que era sólo cuestión de uno o dos años demostrar que todo valor zeta es irracional”, dijo Wadim Zudilin de la Universidad Radboud en los Países Bajos.
Pero el diluvio previsto no se materializó. Nadie comprendía realmente de dónde habían salido las fórmulas de Apéry, y cuando “se tiene una prueba tan extraña, no siempre es tan fácil generalizar, repetir la magia”, dijo franco calegari de la Universidad de Chicago. Los matemáticos llegaron a considerar la prueba de Apéry como un milagro aislado.
Pero ahora, Calegari y otros dos matemáticos — Buque Dimitrov del Instituto de Tecnología de California y Yunqing Tang de la Universidad de California, Berkeley — han demostrado Cómo ampliar el enfoque de Apéry para convertirlo en un método mucho más potente para demostrar que los números son irracionales. Al hacerlo, establecieron la irracionalidad de una colección infinita de valores similares a zeta.
Jean-Benoît Bost Los investigadores de la Universidad Paris-Saclay calificaron su hallazgo de “claro avance en la teoría de números”.
Los matemáticos están entusiasmados no solo con el resultado, sino también con el enfoque de los investigadores, que utilizaron en 2021 para Resolver una conjetura de hace 50 años sobre ecuaciones importantes en la teoría de números llamadas formas modulares“Quizás ahora tengamos suficientes herramientas para llevar este tipo de tema mucho más allá de lo que se creía posible”, dijo francois charles de la Escuela Normal Superior de París. “Es un momento muy emocionante”.
Mientras que la prueba de Apéry parecía surgir de la nada —un matemático la describió como “Una mezcla de milagros y misterios" El nuevo artículo encaja su método en un marco expansivo. Esta claridad añadida aumenta la esperanza de que los avances de Calegari, Dimitrov y Tang sean más fáciles de desarrollar que los de Apéry.
“Ojalá”, dijo daniel litt de la Universidad de Toronto, "pronto veremos una fiebre del oro en pruebas de irracionalidad relacionadas".
Una prueba que Euler pasó por alto
Desde las primeras épocas de los descubrimientos matemáticos, la gente se ha preguntado qué números son racionales. Hace dos milenios y medio, los pitagóricos sostenían como creencia fundamental que todo número es el cociente de dos números enteros. Se quedaron atónitos cuando un miembro de su escuela demostró que La raíz cuadrada de 2 no esCuenta la leyenda que, como castigo, el infractor era ahogado.
La raíz cuadrada de 2 fue solo el comienzo. Los números especiales surgen de todas las áreas de investigación matemática. Algunos, como π, surgen cuando se calculan áreas y volúmenes. Otros están relacionados con funciones particulares. ePor ejemplo, la base del logaritmo natural es π. “Es un desafío: te das un número que aparece de forma natural en matemáticas y te preguntas si es racional”, dijo Cohen. “Si es racional, entonces no es un número muy interesante”.

Una prueba reciente de Frank Calegari y dos coautores, esperan los matemáticos, marcará el comienzo de una fiebre del oro de nuevos resultados sobre la irracionalidad de los números.
Muchos matemáticos adoptan un punto de vista similar al de la navaja de Occam: a menos que exista una razón convincente por la que un número debería ser racional, probablemente no lo sea. Después de todo, los matemáticos saben desde hace mucho tiempo que la mayoría de los números son irracionales.
Sin embargo, a lo largo de los siglos, las pruebas de la irracionalidad de números específicos han sido escasas. En el siglo XVIII, el gigante matemático Leonhard Euler demostró que e es irracional, y otro matemático, Johann Lambert, demostró lo mismo para π. Euler también demostró que todos los valores zeta pares (los números ζ(2), ζ(4), ζ(6), etc.) son iguales a un número racional multiplicado por una potencia de π, el primer paso para demostrar su irracionalidad. La prueba se completó finalmente a fines del siglo XIX.
Pero el estado de muchos otros números simples, como π + e o ζ(5), sigue siendo un misterio, incluso ahora.
Puede parecer sorprendente que los matemáticos aún tengan que lidiar con una cuestión tan básica sobre los números, pero, aunque la racionalidad es un concepto elemental, los investigadores tienen pocas herramientas para demostrar que un número dado es irracional y, con frecuencia, esas herramientas fallan.
Cuando los matemáticos logran demostrar la irracionalidad de un número, el núcleo de su prueba generalmente se basa en una propiedad básica de los números racionales: no les gusta acercarse entre sí. Por ejemplo, digamos que eliges dos fracciones, una con un denominador de 7 y la otra con un denominador de 100. Para medir la distancia entre ellas (restando la fracción más pequeña de la más grande), tienes que reescribir las fracciones de modo que tengan el mismo denominador. En este caso, el denominador común es 700. Por lo tanto, no importa con qué dos fracciones comiences, la distancia entre ellas es un número entero dividido por 700, lo que significa que, como mínimo, las fracciones deben estar separadas por 1/700. Si quieres fracciones que estén incluso más cerca unas de otras que 1/700, tendrás que aumentar uno de los dos denominadores originales.
Invierta este razonamiento y se convertirá en un criterio para demostrar la irracionalidad. Supongamos que tiene un número k, y quieres averiguar si es racional. Tal vez notes que la distancia entre k y 4/7 es menor que 1/700. Eso significa k no puede tener un denominador de 100 o menos. A continuación, tal vez encuentre una nueva fracción que le permita descartar la posibilidad de que k tiene un denominador de 1,000 o menos, y luego otra fracción que descarta un denominador de 10,000 XNUMX o menos, y así sucesivamente. Si puede construir una secuencia infinita de fracciones que gradualmente descarte todos los posibles denominadores para k, entonces k No puede ser racional.
Casi todas las demostraciones de irracionalidad siguen estas líneas, pero no se puede tomar cualquier secuencia de fracciones que se acerque a k — necesitas fracciones que se acerquen k rápidamente en comparación con sus denominadores. Esto garantiza que los denominadores que descartan sigan creciendo. Si su secuencia no se acerca k Con bastante rapidez, solo podrás descartar denominadores hasta cierto punto, en lugar de todos los denominadores posibles.
No existe una receta general para construir una secuencia adecuada de fracciones. A veces, una buena secuencia caerá del cielo. Por ejemplo, el número e (aproximadamente 2.71828) es equivalente a la siguiente suma infinita:
$latex frac{1}{1} + frac{1}{1} + frac{1}{2 veces 1} + frac{1}{3 veces 2 veces 1} + frac{1}{4 veces 3 veces 2 veces 1} + cdots$.
Si detienes esta suma en cualquier punto finito y sumas los términos, obtienes una fracción. Y no hace falta mucho más que matemáticas de secundaria para demostrar que esta secuencia de fracciones se aproxima a... e lo suficientemente rápido para descartar todos los denominadores posibles.

En los años que tomó demostrar la irracionalidad del número L(2) Vesselin Dimitrov y sus colaboradores terminaron resolviendo una conjetura importante, aparentemente no relacionada con la teoría de números.
Pero este truco no siempre funciona. Por ejemplo, el número irracional de Apéry, ζ(3), se define como esta suma infinita:
$látex frac{1}{1^3} + frac{1}{2^3} + frac{1}{3^3} + frac{1}{4^3} + cdots$.
Si detienes esta suma en cada paso finito y sumas los términos, las fracciones resultantes no se aproximan a ζ(3) lo suficientemente rápido como para descartar todos los posibles denominadores para ζ(3). Existe la posibilidad de que ζ(3) sea un número racional con un denominador mayor que los que descartaste.
La genialidad de Apéry fue construir una secuencia diferente de fracciones que se aproximan a ζ(3) con la suficiente rapidez como para descartar todos los denominadores. Su construcción utilizó matemáticas que databan de siglos atrás: un articulo Lo llamó “una prueba que Euler pasó por alto”. Pero incluso después de que los matemáticos comprendieran su método, no pudieron extender su éxito a otros números de interés.
Como toda prueba de irracionalidad, el resultado de Apéry implicaba instantáneamente que muchos otros números también eran irracionales: por ejemplo, ζ(3) + 3, o 4 × ζ(3). Pero los matemáticos no pueden entusiasmarse demasiado con estos obsequios. Lo que realmente quieren es demostrar que los números “importantes” son irracionales: números que “aparecen en una fórmula, [luego] en otra, también en diferentes partes de las matemáticas”, dijo Zudilin.
Pocos números cumplen este estándar más completamente que los valores de la función zeta de Riemann y las funciones aliadas conocidas como L-funciones. La función zeta de Riemann, ζ(x), transforma un número x en esta suma infinita:
$látex frac{1}{1^x} + frac{1}{2^x} + frac{1}{3^x} + frac{1}{4^x} + cdots$.
ζ(3), por ejemplo, es la suma infinita que se obtiene al conectar x = 3. Desde hace mucho tiempo se sabe que la función zeta rige la distribución de los números primos. L-Las funciones, que son como la función zeta pero tienen numeradores variables, gobiernan la distribución de los números primos en sistemas numéricos más complejos. En los últimos 50 años, L-Las funciones han adquirido especial importancia en la teoría de números debido a su papel clave en la programa Langlands, un esfuerzo ambicioso por construir una “gran teoría unificada” de las matemáticas. Pero también aparecen en áreas completamente diferentes de las matemáticas. Por ejemplo, tomemos el L-función cuyos numeradores siguen el patrón 1, −1, 0, 1, −1, 0, repitiéndose. Se obtiene:
$látex frac{1}{1^x} + frac{-1}{2^x} + frac{0}{3^x} + frac{1}{4^x} + frac{-1}{5^x} + frac{0}{6^x} + cdots$.
Además de su papel en la teoría de números, esta función, que llamaremos L(x), hace cameos inesperados en geometría. Por ejemplo, si multiplicas L(2) mediante un factor simple, se obtiene el volumen del tetraedro regular más grande con geometría “hiperbólica”, la geometría curva de las formas de silla de montar.
Los matemáticos han estado reflexionando sobre L(2) durante al menos dos siglos. A lo largo de los años, se han ideado siete u ocho formas diferentes de aproximarla con secuencias de números racionales. Pero ninguna de estas secuencias se acerca a ella con la suficiente rapidez como para demostrar que es irracional.
Los investigadores parecían estar en un punto muerto, hasta que Calegari, Dimitrov y Tang decidieron convertirlo en la pieza central de su nuevo enfoque de la irracionalidad.
Una prueba que Riemann pasó por alto
En una prueba de irracionalidad, se busca que la secuencia de fracciones excluya denominadores cada vez mayores. Los matemáticos tienen una estrategia muy apreciada para comprender una secuencia de este tipo: la empaquetan en una función. Al estudiar la función, obtienen acceso a un arsenal de herramientas, incluidas todas las técnicas del cálculo.
En este caso, los matemáticos construyen una “serie de potencias”, una expresión matemática con infinitos términos, como 3 + 2.x + 7x2 + 4x3 + … — donde se determina cada coeficiente combinando el número que se está estudiando con una fracción de la secuencia, según una fórmula particular. El primer coeficiente termina capturando el tamaño de los denominadores descartados por la primera fracción; el segundo coeficiente captura el tamaño de los denominadores descartados por la segunda fracción; y así sucesivamente.
En términos generales, los coeficientes y los denominadores descartados tienen una relación inversa, lo que significa que su objetivo (probar que los denominadores descartados se aproximan al infinito) es equivalente a demostrar que los coeficientes se aproximan a cero.
La ventaja de este reempaquetado es que luego puedes intentar controlar los coeficientes usando propiedades de la serie de potencias en su conjunto. En este caso, quieres estudiar qué x-Los valores hacen que la serie de potencias "explote" hasta el infinito. Los términos de la serie de potencias implican potencias cada vez más altas x, por lo que, a menos que estén emparejados con coeficientes extremadamente pequeños, grandes x-valores harán que la serie de potencias explote. Como resultado, si puede demostrar que la serie de potencias no explota, incluso para valores grandes de x, eso te dice que los coeficientes efectivamente se reducen a cero, tal como quieres.
Para aportar un conjunto especialmente rico de herramientas que sirvan para abordar esta cuestión, los matemáticos consideran valores “complejos” para xLos números complejos combinan una parte real y una parte imaginaria, y pueden representarse como puntos en un plano bidimensional.
Imagina que comienzas en el número cero en el plano de los números complejos e inflas un disco hasta que te topas con el primer número complejo que hace que tu serie de potencias explote hasta el infinito, lo que los matemáticos llaman una singularidad. Si el radio de este disco es lo suficientemente grande, puedes deducir que los coeficientes de la serie de potencias se reducen a cero lo suficientemente rápido como para implicar que tu número es irracional.
La prueba de Apéry y muchos otros resultados de irracionalidad pueden reformularse en estos términos, aunque no es así como se escribieron originalmente. Pero cuando se trata de L(2) El disco es demasiado pequeño. Para este número, los matemáticos consideraron que el método de las series de potencias era un callejón sin salida.
Pero Calegari, Dimitrov y Tang vieron una posible salida. Una singularidad no siempre representa un punto de parada final; eso depende de cómo se vean las cosas cuando se llega a la singularidad. A veces, el límite del disco toca una masa de singularidades. Si esto sucede, no hay suerte. Pero otras veces, puede que haya solo unas pocas singularidades aisladas en el límite. En esos casos, es posible que se pueda inflar el disco hasta formar una región más grande en el plano complejo, evitando las singularidades.
Eso es lo que Calegari, Dimitrov y Tang esperaban hacer. Tal vez, pensaron, la información adicional contenida en esta región más grande podría permitirles obtener el control que necesitaban sobre los coeficientes de la serie de potencias. Algunas series de potencias, dijo Calegari, pueden tener una "vida maravillosa fuera del disco".
A lo largo de cuatro años, Calegari, Dimitrov y Tang descubrieron cómo utilizar este enfoque para demostrar que L(2) es irracional. “Desarrollaron un criterio completamente nuevo para decidir si un número dado es irracional”, dijo Zudilin. “Es realmente asombroso”.
Al igual que la prueba de Apéry, el nuevo método es un retroceso a una era anterior, que se basa en gran medida en generalizaciones del cálculo del siglo XIX. Bost incluso calificó el nuevo trabajo como “una prueba que Riemann pasó por alto”, en referencia a Bernhard Riemann, una de las figuras más destacadas de las matemáticas del siglo XIX, en cuyo honor se bautizó la función zeta de Riemann.
La nueva prueba no se detiene aquí L(2). Construimos ese número reemplazando los 1 en los numeradores de ζ(2) con un patrón de tres números repetidos: 1, −1, 0, 1, −1, 0 y así sucesivamente. Puedes hacer una colección infinita de otras variantes de ζ(2) con tres numeradores repetidos —por ejemplo, el patrón repetido 1, 4, 10, 1, 4, 10…, que produce la suma infinita
$látex frac{1}{1^2} + frac{4}{2^2} + frac{10}{3^2} + frac{1}{4^2} + frac{4}{5^2} + frac{10}{6^2} + cdots$.
Los investigadores demostraron que cada suma de este tipo también es irracional (siempre que no sume cero). También utilizaron su método para demostrar la irracionalidad de un conjunto completamente diferente de números formados a partir de productos de logaritmos. Tales números estaban antes “completamente fuera de alcance”, dijo Bost.
Los investigadores prevén que las variantes de ζ(2) con patrones repetidos de cuatro números podrían ser las siguientes. Han puesto sus esperanzas, en particular, en demostrar la irracionalidad de la “constante de Catalan”, una variante con el patrón repetido 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0…, que se ha estudiado durante más de 150 años.
“El catalán está muy cerca”, dijo Cohen.
Los resultados que el equipo ha logrado hasta ahora son “una prueba de que sus métodos pueden llegar muy, muy lejos, mucho más allá de lo que esperábamos hace un par de años”, afirmó Charles. “Este no es en absoluto el final de la historia”.
Después de tantos años dedicados a observar a través de la niebla, los matemáticos finalmente están empezando a discernir claramente una serie de puntos de referencia en uno de sus paisajes más fundamentales: la línea numérica.
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