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Cómo el fracaso ha fortalecido las matemáticas | Revista Quanta

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Introducción

Leer un trabajo de matemáticas es un poco como cenar en un buen restaurante. El plato principal puede tener un sabor delicioso, pero no cuenta la historia completa de cómo se hizo. Las recetas inteligentes que terminan sabiendo raras no forman parte del menú; Los platos poco cocidos (normalmente) no se sirven a los clientes. Pero los errores tanto en la concepción como en la ejecución son partes importantes del proceso. Danny Calegari, topólogo de la Universidad de Chicago, quiere que los matemáticos sean más transparentes sobre lo que sucede en la cocina.

Calegari creció en Melbourne en un hogar matemático. Su padre enseñó cálculo y su madre estadística en una escuela técnica local. Sus estanterías estaban llenas de libros de texto que él y su hermano pequeño Frank hojeaban para divertirse.

Pero Calegari no siempre planeó ser matemático. Cuando se matriculó en la Universidad de Melbourne, consideró convertirse en escritor, o quizás en científico cognitivo. Decidió tomar una clase de topología para comprender mejor algunos modelos de cómo funciona el cerebro. "Fue simplemente electrizante", dijo. “En esta clase, cada frase era de algún modo interesante. ... Era como el mejor set de Lego del mundo o algo así, donde todo se conectaba de esta forma brillante, inesperada y poderosa".

Estaba enganchado. Decidió especializarse en matemáticas y luego obtuvo su doctorado en la Universidad de California, Berkeley, y finalmente se dedicó a la topología. (Frank Lo seguiría a Berkeley y luego se uniría a él en la facultad de matemáticas de Chicago, especializándose en teoría de números).

Calegari sigue siendo un ávido lector de Joyce, Dickens, Nabokov, Austen, Vonnegut, Lorrie Moore, Raymond Queneau, Anne Carson. También escribe sus propios cuentos de vez en cuando. Pero sobre todo lo atraen las matemáticas, los problemas de topología de baja dimensión y la teoría de grupos geométricos que lo mantienen despierto por la noche. "Una vez que tuve este encuentro con la topología, que fue un poco como ser atropellado por un tren, todo cambió", dijo.

En una edición reciente del Avisos de la American Mathematical Society, Calegari publicó un ensayo sobre la importancia del fracaso en matemáticas. La decepción, escribió, “es a la vez una crisis y una oportunidad”.

¿Cuánto Habló con Calegari sobre cómo se ve el fracaso en matemáticas y por qué es importante. La entrevista ha sido condensada y editada para mayor claridad.

Introducción

¿Por qué decidiste escribir sobre el fracaso?

Es algo que conozco y algo de lo que la gente no habla con suficiente frecuencia. Entonces sentí que al menos podía intentar ser honesto acerca de cómo es esa experiencia y las formas en que a veces puede ser útil.

Las matemáticas son muy competitivas. La mayoría de las personas luchan por tener acceso a recursos muy limitados, por lo que nadie quiere mostrar ningún tipo de debilidad. Existe una enorme presión sociológica para no admitir que estás luchando.

La decepción duele siempre, pero no siempre es algo malo.

Su ensayo menciona su fracaso en formar parte del equipo de la Olimpiada Internacional de Matemáticas en la escuela secundaria y cómo luego vio eso como una oportunidad para aprender matemáticas más profundamente. ¿Cómo has experimentado el fracaso desde entonces?

Siempre es vergonzoso admitir que realmente querías algo que no obtuviste. Un trabajo, una invitación a un congreso, un reconocimiento, un reconocimiento.

Mi principal decepción tuvo que ver con el trabajo que hice en un campo llamado “longitud de conmutador estable”, sobre las relaciones entre elementos en los llamados grupos libres. Sentí que probé algunos teoremas realmente inesperados y descubrí muchas estructuras fundamentales y conexiones con otras áreas de las matemáticas, como la dinámica. incluso yo escribió un libro al respecto. Pensé que sería increíblemente interesante para las personas que trabajan en topología de baja dimensión y que los inspiraría a comenzar a trabajar de inmediato en cuestiones relacionadas.

Introducción

Pero a nadie le importó. Quizás hubo una o dos personas en el mundo que se basaron en mi trabajo, pero básicamente eran solo grillos.

Entonces me sentí muy decepcionado. Dediqué cinco o seis años de mi vida a eso. Y dejé de trabajar en ello, no porque hubiera agotado el tema, o porque no creyera que hubiera cosas interesantes en las que trabajar, sino simplemente porque me sentía solitario seguir haciéndolo por mi cuenta y no obtener ninguna reacción.

Pero hubo una buena lección que sacar de esto, y es que terminé preocupándome un poco menos por lo que piensan otras personas y me motiva mucho más solo la curiosidad. Si quieres dedicarte a las matemáticas, hacer las matemáticas en sí tiene que ser la recompensa, porque a nadie le importa y lo que se considera importante no siempre tiene sentido.

En el espíritu de esa lección, ¿regresó alguna vez a este trabajo?

De hecho, sólo en los últimos meses. Espero formular conjeturas más precisas en esta área.

¿Es esta una experiencia común?

Sí. Creo que el 100% de los matemáticos piensa que a nadie le importa, que nadie sabe siquiera nada sobre su mejor trabajo. Incluso cuando alguien prueba alguna conjetura famosa y recibe mucha atención, el número de personas que realmente leen los detalles de la prueba y aprecian plenamente lo que se hizo es microscópico. Lo cual tiene sentido: es muy difícil aprender algo que no está en un área que ya conoces bien, y hay muy poca recompensa si lo haces. Así que la mayoría de la gente no lo hace la mayor parte del tiempo, lo cual es perfectamente razonable. ¿Por qué lo harían?

Aunque eso es muy solitario.

Es. Creo que esta es una de las razones por las que la gente colabora mucho más comúnmente hoy en día, algo que sólo ha sucedido en las últimas dos décadas. Porque al menos a tu coautor le importa lo que hay en el artículo y está interesado en lo que estás haciendo.

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En realidad, es un avance increíblemente positivo. No era común que la gente escribiera artículos de varios autores cuando yo era estudiante de posgrado; ahora es raro que un artículo tenga menos de tres autores. Creo que es algo realmente bueno en matemáticas. Para empezar, la colaboración permite que los artículos tengan menos errores.

Ésa es otra forma en la que el fracaso ha conducido a algo productivo.

Sí. Y a través de la colaboración, especialmente las colaboraciones públicas a gran escala como la proyecto polímata, los intentos fallidos de prueba se han convertido en parte del registro público. Al analizar esos fracasos, los matemáticos pueden comprender mejor la vanguardia actual. La gente intentó cosas y algunas no funcionaron, y hay constancia de ello. Los experimentos fallidos, estas lecciones aprendidas con tanto esfuerzo, están ahí y son visibles.

Por lo general, las personas que han trabajado en un campo durante mucho tiempo aprenden por experiencia que cierto tipo de enfoque tiene ciertas deficiencias, por ejemplo. Y los jóvenes que ingresan en este campo tienen que aprender esas cosas saliendo con otros matemáticos y asistiendo a conferencias. Pero los esfuerzos de colaboración están proporcionando una nueva forma de hacer llegar esas cosas a la comunidad.

¿Cuál es un ejemplo en el que los matemáticos han aprendido de una prueba fallida?

Bill Thurston fue un matemático que giró el tema de la topología tridimensional al revés. Parte de eso fue su conjetura de geometrización, en la que dio un modelo de cómo las estructuras geométricas pueden asociarse con espacios tridimensionales.

Mientras comenzaba a formular una versión temprana de la conjetura, muchas veces pensó que tenía una prueba de que ciertas estructuras eran imposibles. Pero otro matemático demostró que estas estructuras podrían existir. Entonces se equivocó.

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Thurston dijo que todos sus intentos equivocados le permitieron desarrollar una visión más profunda de la geometría y la topología de los espacios tridimensionales. Éste fue el andamiaje sobre el que se basó la eventual conjetura de la geometrización. El análisis de los puntos de fracaso de su programa y de por qué sus pruebas habían fracasado le llevó a formular esta poderosa e importante conjetura.

Ahora es uno de los resultados más importantes en el campo, ¿verdad?

Bien. La parte difícil es que en algún momento tienes que cambiar de marcha y decir: "Bueno, tal vez lo que estoy tratando de demostrar no sea cierto". Creo que eso sucede mucho en matemáticas, pero la gente es muy reacia a cambiar de tema.

Una vez le preguntaron a GH Hardy qué distinguía a Ramanujan como matemático. Una de las cosas que dijo fue que Ramanujan tenía una capacidad notable para formular hipótesis muy rápidamente, pero que también era muy rápido para revisarlas. Era ágil: si algo no funcionaba, podía dar un giro y revisar su forma de pensar. Los matemáticos no siempre aprecian el poder de eso.

La mayoría de las veces, al menos en mi experiencia, son demasiado rápidos para aceptar simplemente la sabiduría convencional de que una conjetura es verdadera o falsa, para aceptar lo que todos los demás dicen.

Esto también aprovecha la idea de que es importante hacer conjeturas en primer lugar, incluso cuando sean erróneas.

Totalmente cierto. Hay un problema relacionado, que es que a veces hay errores profundos en los artículos que no se pueden corregir. Y si la gente realmente quiere imaginar que algo es verdad y que han demostrado algo, puede resultar muy difícil admitir errores.

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Desafortunadamente, esto encaja con la forma en que la gente tiende a trabajar en la versión de conjeturas de sabiduría convencional. Porque si todos están de acuerdo en que alguna conjetura probablemente sea cierta y usted presenta una prueba de ello, por supuesto que la gente será crítica hasta cierto punto, pero serán menos cuidadosos si coincide con sus expectativas. Puede pasar mucho tiempo antes de que se encuentren errores.

Uno de los problemas de Hilbert, sobre familias de curvas definidas por ecuaciones diferenciales, se consideró resuelto. Henri Dulac, que dio una prueba de ello en 1923, murió creyendo haberlo resuelto. Y luego Yulij Ilyashenko encontró un contraejemplo 60 años después. Hoy en día, el trabajo en este ámbito es mucho más activo y animado.

Este tipo de cosas pueden suceder en matemáticas. Incluso puede haber problemas muy famosos en los que la gente reclama una prueba que todos aceptan, y pasa mucho tiempo antes de que uno descubra que simplemente no es cierto. Y el mismo tipo de presiones psicológicas que dificultan que las personas lidien con el fracaso actúan al dificultar que las personas evalúen cuidadosa y críticamente los argumentos de que tienen una enorme inversión personal en tener razón.

Hablaste de cómo los esfuerzos colaborativos han hecho que el fracaso sea más visible. ¿Hay otras formas de lograrlo?

Otra forma es a través de la enseñanza. A veces, cuando se enseña, existe una tendencia a presentar el material simplemente como: Aquí está el camino, avancemos firmemente por él. Pero creo que es útil introducir otras direcciones, aspectos sutiles del tema que pueden resultar confusos. A veces necesitas interrumpir el flujo, en el sentido de que al principio todo parece salir naturalmente, y quieres decir, paremos, en realidad esto no es tan fácil como parece, ¿qué pasa con esto, qué pasa? ¿eso?

¿Cómo se relaciona esto con su interés por la lectura y la escritura?

Siempre es difícil saber qué pasa dentro de la cabeza de otras personas. No es fácil comunicar la especial experiencia íntima del mundo interior.

Y esto es importante en matemáticas, porque la forma en que pensamos sobre los objetos matemáticos es muy diferente de lo que aparece en las páginas de un papel, o en la pizarra o algo así. Incluso si tienes lo que consideras una idea muy clara y directa, aun así tienes que comunicársela a alguien que tiene una forma muy diferente de pensar sobre las cosas.

Una de las funciones estupendas, tremendamente útiles y valiosas de la buena escritura es que te ofrece una forma de ver cómo es ser otra persona. Puedes ver el interior de la cabeza de la gente. Éste es uno de los grandes regalos de la literatura: puedes ver que todos los demás también son raros, no sólo tú.

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