Piense en la melodía de "Pop Goes the Weasel". Ahora canta estas letras:

Negativo b, más o menos
La raíz cuadrada de b al cuadrado
menos cuatro a c
¡Todo! sobre dos a

Este jingle ha ayudado a generaciones de estudiantes de álgebra a recordar la fórmula cuadrática que resuelve todas las ecuaciones de la forma $latex ax^2+bx+c=0$. La fórmula es tan útil como es probable que aparezca en el diccionario bajo "ansiedad matemática", y un vistazo rápido le muestra por qué:

$$frac{-bpm raíz cuadrada{b^2-4ac}}{2a}$$

A pesar de lo intimidante que parece, escondido dentro hay un secreto simple que facilita la resolución de cada ecuación cuadrática: la simetría. Veamos cómo la simetría hace que funcione la fórmula cuadrática y cómo la falta de simetría hace que resolver ecuaciones cúbicas (de la forma $latex ax^3+bx^2+cx+d =0$) sea mucho, mucho más difícil. Tanto más difícil, de hecho, que unos pocos matemáticos en el siglo XVI se pasaron la vida envueltos en amargas disputas públicas compitiendo para hacer por las cúbicas lo que se hacía tan fácilmente por las cuadráticas.

Resolver ecuaciones es una habilidad fundamental en la clase de matemáticas: nos ayuda a encontrar los beneficios máximos, las distancias mínimas, los puntos de intersección y mucho más. Una de las ecuaciones más básicas que aprendemos a resolver es $latex f(x)=0$. Dada una función $latex f(x)$, esta ecuación pregunta: ¿Qué entradas x devolver una salida de 0? Por esta razón, las soluciones de esta ecuación a veces se denominan "ceros" o "raíces" de la función.

Antes de encontrar las raíces de cada función cuadrática, comencemos con una fácil: ¿Cuáles son las raíces de $latex f(x)=x^2-9$? Para encontrarlos, solo resuelve la ecuación $latex f(x)=0$.

$látex f(x)=0$
$látex x^2-9=0$
$látex x^2=9$
$látex x=pm3$

Estas raíces son fáciles de encontrar porque esta ecuación es fácil de resolver. Todo lo que tienes que hacer es aislar x. Fíjate que necesitamos $latex pm$ en la última línea, porque tanto 3 como -3 tienen la propiedad de que cuando los elevas al cuadrado obtienes 9. Una comprobación rápida de que $latex f(3)=f(-3)=0 $ verifica que estas son de hecho las entradas que hacen que $latex f(x)$ salga 0.

Ese $latex pm$ también apunta a la simetría inherente a la situación. La función cuadrática tiene dos raíces, y si imaginas las dos raíces en una recta numérica, verás que son simétricas con respecto a $latex x=0$.

Y cuando recuerdas que la gráfica de una función cuadrática es una parábola, esto tiene mucho sentido. Cada parábola tiene un eje de simetría que divide la parábola en dos piezas de imagen especular. En el caso de $latex f(x)=x^2-9$, el eje de simetría es el y-eje (la línea $latex x=0$). Cuando graficas $latex f(x)=x^2-9$ de la forma habitual, tratando x como variable independiente y configurando $latex y=f(x)$, puedes ver sus raíces en el x-eje, equidistante de y a ambos lados del y-eje.

Para una cuadrática más complicada como $latex f(x)=x^2-8x-9$, encontrar las raíces requiere un poco más de excavación.

$látex f(x)=0$
$látex x^2-8x-9=0$
$látex x^2-8x=9$

Podemos establecer $latex f(x)$ igual a 0 y mover el 9 al lado derecho como hicimos antes, pero no podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados para aislar x. Ese otro término con el x en ella está de pie en el camino. Pero esta función, como todas las cuadráticas, es simétrica, y podemos usar esa simetría para navegar por el problema. Solo necesitamos un poco de álgebra para que la simetría sea más transparente.

Reescribamos la función $latex f(x)=x^2-8x-9$ como $latex f(x)=x(x-8)-9$. Ahora enfócate en la parte $latex x(x-8)$. Será a 0 en dos situaciones: si x = 0 o si x = 8 — y esto garantiza que $latex f(0)$ y $latex f(8)$ tomarán el mismo valor de -9. Esto nos da dos puntos simétricos en la parábola, y dado que el eje de simetría tiene que dividir $latex x=0$ y $latex x=8$ por la mitad, debe ser la línea $latex x=4$.

Ahora que hemos encontrado la simetría, es hora de aprovecharla. Vamos a desplazar nuestra parábola cuatro unidades hacia la izquierda para que su eje de simetría se mueva desde la línea $latex x=4$ hasta la línea $latex x=0$. Hay una forma sencilla de realizar esta traducción algebraicamente: reemplazamos cada x x + 4.

Llamemos a $latex g(x)$ la nueva función cuadrática que obtenemos cuando reemplazamos x x+ 4. En otras palabras, sea $latex g(x)=f(x+4)$. Mira lo que sucede cuando simplificamos $latex g(x)$:

$látex g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$látex g(x)=x^2-25$

Después de aplicar la propiedad distributiva varias veces y recopilar términos similares, la x El término de nuestra nueva traducción cuadrática desaparece, y esto hace que encontrar las raíces de $latex g(x)$ sea fácil:

$látex g(x)=0$
$látex x^2-25=0$
$látex x^2=25$
$látex x=pm5$

Las raíces de $latex g(x)$ son $latex x=pm5$, así que para encontrar las raíces de $latex f(x)=x^2-8x-9$, simplemente movemos las raíces de $latex g( x)$ atrás cuatro unidades a la derecha. Este us nos da las raíces de $latex f(x)$: $latex 4pm5$, o 9 y -1, que puedes verificar calculando $latex f(9)=f(-1)=0$.

El secreto para resolver esta ecuación cuadrática un poco más difícil fue deslizarla y convertirla en una ecuación cuadrática más fácil al eliminar la interferencia. x término. Este enfoque funcionará en cualquier función cuadrática. Dado un $latex cuadrático arbitrario f(x)=ax^2+bx+c$, siempre puedes encontrar su eje de simetría con la misma factorización:

$látex f(x)=ax^2+bx+c$
$látex f(x)=x(ax+b)+c$

De esta forma puedes ver que $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, lo que significa que el eje de simetría está a mitad de camino entre $latex x=0$ y $latex x= -frac{b}{a}$. En otras palabras, el eje de simetría de cualquier función cuadrática $latex f(x)=ax^2+bx+c$ es la recta $latex x=-frac{b}{2a}$. Y esto debería parecer familiar. ¡Se esconde en la fórmula cuadrática!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Es más fácil verlo si lo reescribes así:

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{raíz cuadrada{b^2-4ac}}{2a}$$

La fórmula cuadrática se basa en el hecho de que las raíces de la fórmula cuadrática $latex f(x)=ax^2+bx+c$ son simétricas con respecto a $latex x=-frac{b}{2a}$. Y tal como lo hicimos anteriormente, puede usar esa simetría para encontrarlos: simplemente traduzca $latex f(x)$ por $latex -frac{b}{2a}$. Esto tiene el efecto de eliminar la x término, lo que le permite luego aislar fácilmente x y resolver Haz esto y obtendrás la fórmula cuadrática. (Consulte los ejercicios a continuación para obtener más detalles). Esto no es tan fácil como tararear una melodía infantil, pero demuestra las importantes conexiones algebraicas y geométricas que hacen que esta fórmula funcione.

Resolver ecuaciones cuadráticas con el poder de la simetría podría animarnos a probar una táctica similar con las ecuaciones cúbicas. Pero aunque las cúbicas tienen simetría, no es del tipo que ayuda a resolver ecuaciones como $latex f(x)=0$. Las gráficas cúbicas tienen "punto de simetría", lo que significa que hay un punto especial en la gráfica de cada función cúbica donde, si una línea pasa por ese punto y se cruza con la cúbica en cualquier otro lugar, se cruza con la gráfica de nuevo simétricamente alrededor de ese punto.

Este es un tipo fuerte de simetría, pero no ayuda a encontrar raíces. Eso es porque las raíces de una función ocurren donde su gráfica cruza la línea horizontal $latex y=0$ (la x-eje), y en general, esas intersecciones no son simétricas respecto al punto especial de simetría de la cúbica.

De hecho, un cúbico podría tener solo raíz. No hay simetría allí.

Sin embargo, hay algo de nuestro trabajo anterior con cuadráticas que puede ayudar.

Si tenemos una función cuadrática $latex f(x)=ax^2+bx+c$ y sabemos que sus raíces son $latex r_1 $ y $latex r_2$, entonces siempre podemos escribir $latex f(x)$ en forma “factorizada”: $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. Ahora, cuando multiplicamos esto y simplificamos, obtenemos algo muy útil con lo que trabajar.

$látex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

Observe cómo el coeficiente de la x término implica la suma de las dos raíces $latex r_1$ y $latex r_2$. Esto está relacionado con una de las fórmulas de Vieta (que quizás hayas visto una vez or dos veces antes en estas columnas): Dada una función cuadrática $latex f(x)=ax^2+bx+c$, la suma de las dos raíces siempre será $latex -frac{b}{a}$. Puede mostrar esto estableciendo la forma general de la cuadrática igual a su forma factorizada $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ y observando que la única forma en que dos polinomios pueden realmente ser iguales es si sus coeficientes correspondientes son iguales. En este caso, eso significa que los coeficientes de la x Los términos en ambos lados de la ecuación deben ser iguales, por lo que podemos escribir

$látex b=-a(r_1+r_2)$

y luego dividir:

$látex r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

Observe que dividir ambos lados de esta ecuación por 2 demuestra un hecho interesante: el promedio de las dos raíces de la función cuadrática es igual a la x-valor del eje de simetría:

$$ fracción{r_1+r_2}{2} = -fracción{b}{2a}$$

Esto tiene sentido, porque el eje de simetría tiene que estar en el medio de las dos raíces, y el promedio de dos números cualesquiera es el número exactamente en el medio de ellos.

Pero considere esta nueva relación en el contexto de nuestra traducción anterior. Trasladar la parábola moviendo el eje de simetría de $latex x = -frac{b}{2a}$ a $latex x=0$ también cambia el promedio de las dos raíces de $latex -frac{b}{2a} $ a 0.

Pero si el promedio de las raíces es 0, entonces la suma de las raíces también debe ser 0, y la suma de las dos raíces aparece en la forma factorizada de la cuadrática:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

Esto significa que trasladar la cuadrática para que la suma de las raíces sea 0 también hace que la x desaparecer el término. Esto es lo que nos ayudó a resolver nuestra ecuación cuadrática anterior, y un resultado similar sobre las raíces se cumple para las funciones cúbicas.

Dado un $látex cúbico general f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, podemos hacer lo que hicimos con el cuadrático. Si la cúbica tiene raíces $latex r_1$, $latex r_2$ y $latex r_3$, podemos escribir la función cúbica en su forma factorizada $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ y multiplícalo. Esto nos da $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3+r_1r_2)x-ar_3r_3r_2$ que luego igualamos a la forma general $latex f (x)=ax^XNUMX+bx^XNUMX+cx+d$, y dado que los coeficientes correspondientes deben ser los mismos, terminamos con la fórmula de Vieta para la suma de las raíces de una cúbica:

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

Note que podemos dividir ambos lados de la ecuación por 3 para obtener

$$ fracción{r_1+r_2+r_3}{3} = -fracción{b}{3a}$$

Esto nos dice que la raíz promedio de la cúbica es $latex -frac{b}{3a}$. Ahora, si traducimos la cúbica por esta cantidad, la raíz promedio será 0, lo que hará que la suma de las raíces sea igual a 0, lo que a su vez hará que el coeficiente de $latex x^2$ en nuestra cúbica traducida desaparezca.

En resumen, la transformación $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ produce lo que se conoce como una cúbica "deprimida", lo que simplemente significa que no tiene un término $latex x^2$ . Nuestra cúbica transformada y deprimida se verá así:

$látex g(x)=ax^3+mx+n$

los coeficientes m y n puede expresarse en términos de a B C, y d de la cúbica original. A qué son iguales es menos importante que el hecho de que existen técnicas garantizadas para encontrar las raíces de las cúbicas deprimidas. De hecho, tal técnica estuvo en el centro de una disputa legendaria entre Gerolamo Cardano y Niccolò Tartaglia en el siglo XVI que involucró amistad, traición y duelos matemáticos públicos. Es un larga y fascinante historia, con una notable conclusión matemática: la capacidad de convertir cualquier cúbica en cúbica deprimida, junto con la capacidad de resolver cualquier cúbica deprimida, nos permite resolver todas las ecuaciones cúbicas. Me perdonarás por omitir el resto de los detalles porque, bueno, es más fácil mostrártelo.

Esta es la fórmula cúbica que, al igual que la fórmula cuadrática, resuelve todas las ecuaciones cúbicas. Pero a diferencia de la fórmula cuadrática, no tiene una melodía pegadiza para cantar. Puede intentar escribir uno, pero probablemente necesitará algunos versos y un coro o dos.

Ejercicios

1. Si conoces una raíz de una cúbica, ciertamente puedes encontrar las otras. ¿Por qué?

2. Las raíces de una cuadrática pueden ser números complejos. ¿Eso no afecta el argumento de la simetría?

3. Dado el $latex cuadrático general f(x)=ax^2+bx+c$, resuelve el $latex cuadrático transformado g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$ para derivar el Fórmula cuadrática.

4. ¿Cuál es el promedio de las raíces de la función cuártica $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$?

5. Usa el cálculo para demostrar que el punto de inflexión de una cúbica es también su punto de simetría.