En 2018, mientras se preparaba para recibir la Medalla Fields, el máximo honor de las matemáticas, Akshay Venkatesh llevaba un trozo de papel en el bolsillo. En él había escrito una tabla de expresiones matemáticas que durante siglos han desempeñado un papel clave en la teoría de números.

Aunque las expresiones habían ocupado un lugar destacado en la propia investigación de Venkatesh durante la última década, las llevaba consigo no como un recuerdo de lo que había logrado, sino como un recordatorio de algo que todavía no entendía.

Las columnas de la tabla estaban llenas de expresiones matemáticas de apariencia críptica: en el extremo izquierdo había objetos llamados períodos, y en el derecho, objetos llamados L-funciones, que podrían ser la clave para responder algunas de las preguntas más importantes de las matemáticas modernas. La mesa sugería algún tipo de relación entre los dos. En un libro de 2012 con Yiannis Sakellaridis de la Universidad Johns Hopkins, Venkatesh Habían descubierto una dirección: si les dieran un punto, podrían determinar si tenía un significado asociado. L-función.

Pero todavía no podían entender la relación a la inversa. Era imposible predecir si un determinado L-La función tenía un período coincidente. Cuando miraron L-funciones, vieron en gran medida desorden.

Por eso Venkatesh guardó el papel en el bolsillo. Esperaba que si miraba la lista el tiempo suficiente, los rasgos comunes en esta colección aparentemente aleatoria de L-Las funciones le quedarían claras. Después de un año de llevarlo consigo, no lo habían hecho.

"No podía entender cuál era el principio detrás de esta mesa", dijo.

2018 fue un gran año para Venkatesh en más de un sentido. Además de recibir la Medalla Fields, también se mudó de la Universidad de Stanford, donde había estado durante la década anterior, al Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, Nueva Jersey.

Él y Sakellaridis también comenzaron a hablar con David Ben Zvi, un matemático de la Universidad de Texas en Austin que pasaba el semestre en el instituto. Ben-Zvi había construido su carrera en un área paralela de las matemáticas, investigando el mismo tipo de preguntas sobre números que interesaban a Sakellaridis y Venkatesh, pero desde un punto de vista geométrico. Cuando escuchó a Venkatesh dar una charla sobre esta mesa misteriosa que llevaba consigo a todas partes, Ben-Zvi casi de inmediato comenzó a ver una nueva forma de hacer puntos y L-las funciones se comunican entre si.

Ese momento de reconocimiento instigó una colaboración de varios años que se hizo realidad en julio pasado, cuando Ben-Zvi, Sakellaridis y Venkatesh publicaron un manuscrito de 451 páginas. El artículo crea una traducción bidireccional entre períodos y L-funciones mediante períodos de refundición y L-funciones en términos de un par de espacios geométricos utilizados para estudiar cuestiones básicas en física.

Al hacerlo, avanza en un sueño largamente anhelado dentro de una amplia iniciativa de investigación en matemáticas llamada programa Langlands. Los matemáticos que trabajan en las preguntas del programa buscan construir puentes entre áreas dispares para mostrar cómo las formas avanzadas de cálculo (donde se originan los períodos) pueden usarse para responder preguntas abiertas fundamentales en la teoría de números (el hogar de L-funciones), o cómo se puede aplicar la geometría a cuestiones básicas de aritmética.

Esperan que una vez que se establezcan esos puentes, las técnicas puedan trasladarse de un área de las matemáticas a otra para responder preguntas importantes que parecen intratables dentro de sus propios dominios.

El nuevo artículo es uno de los primeros en vincular los aspectos geométrico y aritmético del programa, que durante décadas han avanzado en gran medida de forma aislada unos de otros. Al crear este vínculo y ampliar efectivamente el alcance del programa Langlands tal como fue concebido originalmente, el nuevo artículo proporciona un marco conceptual único para una serie de conexiones matemáticas.

"Unifica muchos fenómenos anteriores que parecían dispares, y eso siempre es algo feliz para los matemáticos", dijo kim min hyong, director del Centro Internacional de Ciencias Matemáticas en Edimburgo, Escocia.

Solo conectar

El programa Langlands fue iniciado por Roberto Langlands, ahora profesor emérito del Instituto de Estudios Avanzados. Comenzó en 1967 como un libro de 17 páginas. carta escrita a mano desde Langlands, entonces un joven profesor de la Universidad de Princeton, hasta Andre Weil, que era uno de los matemáticos más conocidos del mundo. Langlands propuso que debería haber una manera de emparejar objetos importantes del cálculo llamados formas automórficas con objetos del álgebra llamados grupos de Galois. Las formas automórficas son una generalización de funciones periódicas como el seno en trigonometría, cuyas salidas se repiten infinitamente a medida que crecen las entradas. Los grupos de Galois son objetos matemáticos que describen cómo las entidades llamadas campos (como los números reales o racionales) cambian cuando se amplían con nuevos elementos.

Emparejamientos como el que existe entre formas automórficas y grupos de Galois se denominan dualidades. Sugieren que diferentes clases de objetos se reflejan entre sí, lo que permite a los matemáticos estudiar cada uno en términos del otro.

Generaciones de matemáticos han trabajado para demostrar la existencia de la dualidad hipotética de Langlands. Aunque sólo han logrado establecerlo en casos limitados, incluso esos casos limitados a menudo han dado resultados espectaculares. Por ejemplo, en 1994, cuando Andrew Wiles demostró que la dualidad propuesta por Langlands es válida para una clase particular de ejemplos, el resultado fue su demostración del último teorema de Fermat, uno de los resultados más célebres de la historia de las matemáticas.

A medida que los matemáticos siguieron el programa Langlands, también lo ampliaron en muchas direcciones.

Una de esas líneas ha sido estudiar dualidades entre objetos aritméticos que están relacionados, pero distintos de, aquellos que le interesaban a Langlands. En su libro de 2012, Sakellaridis y Venkatesh estudiaron una dualidad entre períodos, que están estrechamente relacionados con formas automórficas, y L-funciones, que son sumas infinitas que se atribuyen a grupos de Galois. Desde un punto de vista matemático, períodos y LLas funciones son especies de objetos completamente diferentes sin rasgos comunes obvios.

Los períodos surgieron como objetos de interés matemático en la obra de Erich Hecke en la década de 1930.

L-Las funciones son sumas infinitas que se han utilizado desde el trabajo de Leonhard Euler a mediados del siglo XVIII para investigar cuestiones básicas sobre números. El más famoso L-La función zeta de Riemann está en el centro de la hipótesis de Riemann, que puede verse como una predicción sobre cómo se distribuyen los números primos. El Hipótesis de Riemann Es posiblemente el problema sin resolver más importante en matemáticas.

Langlands era consciente de las posibles conexiones entre L-funciones y periodos, pero los veía como una cuestión secundaria en su esquema de unir diferentes áreas de las matemáticas.

“En un artículo, [Langlands] consideró este estudio de períodos y L-Funciona como algo que no vale la pena estudiar”, dijo Sakellaridis.

Bienvenido a la máquina

Aunque Robert Langlands no enfatizó la conexión entre períodos y LFunciones, Sakellaridis y Venkatesh las consideraron fundamentales para ampliar y profundizar las conexiones entre áreas aparentemente distantes de las matemáticas que Langlands había propuesto.

En su libro de 2012, desarrollaron una especie de máquina que tomaba un período como entrada, realizaba un cálculo largo y generaba un resultado. L-función. No todos los períodos producen resultados correspondientes. L-Funciones, sin embargo, y el principal avance teórico de su libro fue comprender cuáles lo hacen. (Esto se basó en trabajos anteriores de Atsushi Ichino y Tamotsu Ikeda en la Universidad de Kyoto).

Pero su enfoque tenía dos limitaciones. En primer lugar, no explicaba por qué un período determinado produce una determinada L-función. La máquina que convertía uno en otro era una caja negra. Era como si hubieran construido una máquina expendedora que a menudo entregaba de manera confiable algo para comer cada vez que se ingresaba dinero, solo que no se podía saber de antemano qué sería, o si la máquina se comería el dinero sin dispensar un refrigerio.

En cualquier caso concreto, pondrías tu dinero (tu punto) y luego “harías un largo cálculo y verías cuál entre un zoológico de L-Funciones que tienes”, dijo Venkatesh.

La segunda cosa que no lograron en su libro fue llegar a comprender qué L-las funciones tienen periodos asociados. Algunos lo hacen. Otros no lo hacen. No pudieron entender por qué.

Siguieron trabajando después de que salió el libro, tratando de descubrir por qué funcionaba la conexión y cómo hacer funcionar la máquina en ambas direcciones, no solo obteniendo una L-funcionar a partir de un periodo, pero también al revés.

En otras palabras, querían saber que si ponían $1.50 en la máquina expendedora, significaba que iban a recibir una bolsa de Cheetos. Además, querían poder saber que si tenían una bolsa de Cheetos en la mano, significaba que habían puesto 1.50 dólares en la máquina expendedora.

Debido a que vinculan objetos que, a primera vista, no tienen nada en común, las dualidades son poderosas. Podrías mirar fijamente una fila de objetos matemáticos para siempre y no percibir cómo L-funciones y periodos coinciden.

“La forma en que se definen y se dan, este período y L-función, no hay una relación obvia”, dijo Pequeño Teck Gan de la Universidad Nacional de Singapur.

Para traducir cosas superficialmente inconmensurables, es necesario encontrar puntos en común. Una forma de hacerlo para objetos como L-funciones y periodos, que tienen su origen en la teoría de números, consiste en asociarlos a objetos geométricos.

Para tomar un ejemplo de juguete, imagina que tienes un triángulo. Mida la longitud de cada lado y podrá producir un conjunto de números que le indicarán cómo escribir un L-función. Mira otro triángulo y, en lugar de las longitudes, mira los tres ángulos interiores; puedes usar esos ángulos para definir un período. Así que en lugar de comparar L-funciones y períodos directamente, puedes comparar sus triángulos asociados. Se puede decir que los triángulos “indexan” el L-funciones y períodos: si un período coincide con un triángulo con ciertos ángulos, entonces las longitudes de ese triángulo coinciden con un correspondiente L-función.

“Este período y L-función, no hay una relación obvia en la forma en que se te dan. Sin embargo, el punto era que si pudieras entender cada uno de ellos de otra manera, de otra manera... podrías encontrar que son muy comparables”, dijo Gan.

En su libro de 2012, Sakellaridis y Venkatesh lograron parte de esta traducción. Encontraron una forma satisfactoria de indexar períodos utilizando un determinado tipo de objeto geométrico. Pero no pudieron encontrar una forma similar de pensar L-funciones.

Ben-Zvi pensó que podía hacerlo.

Martillo doble de Maxwell

Mientras que el trabajo de Sakellaridis y Venkatesh estaba ligeramente al lado de la visión de Langlands, Ben-Zvi trabajó en un área de las matemáticas que se encontraba en un universo completamente diferente: una versión geométrica del programa Langlands.

El programa geométrico de Langlands comenzó a principios de la década de 1980, cuando Vladimir Drinfeld y Alexander Beilinson sugirieron una especie de dualidad de segundo orden. Drinfeld y Beilinson propusieron que la dualidad de Langlands entre grupos de Galois y formas automórficas podría interpretarse como una dualidad análoga entre dos tipos de objetos geométricos. Pero cuando Ben-Zvi comenzó a trabajar en el programa Langlands geométrico como estudiante de posgrado en la Universidad de Harvard en la década de 1990, el vínculo entre los programas Langlands geométrico y original era algo aspiracional.

“Cuando se introdujo por primera vez el Langlands geométrico, fue una secuencia de pasos psicológicos para pasar del programa Langlands [original] a esta declaración [geométrica] que parecía una bestia diferente”, dijo Ben-Zvi.

En 2018, cuando Ben-Zvi tuvo un año sabático en el Instituto de Estudios Avanzados, las dos partes se habían acercado cada vez más, sobre todo en el trabajo publicado ese mismo año por Vincent Lafforgue, investigador del Instituto Fourier de Grenoble. Aun así, Ben-Zvi planeaba utilizar su visita sabática de 2018 a la IAS para investigar directamente el lado geométrico del programa Langlands. Su plan se vio interrumpido cuando fue a escuchar una charla de Venkatesh.

“Mi hijo y la hija de Akshay eran compañeros de juegos y éramos amigos socialmente, y pensé que debería asistir a algunas de las charlas que Akshay dio a principios de semestre”, dijo Ben-Zvi.

En una de esas primeras charlas, Venkatesh explicó la necesidad de encontrar un tipo de objeto geométrico que pudiera indexar ambos períodos y L-funciones, y describió algunos de sus recientes avances en esa dirección. Implicaba intentar utilizar espacios geométricos de un área de las matemáticas llamada geometría simpléctica, con la que Ben-Zvi estaba familiarizado por su trabajo en el programa geométrico Langlands.

"[Akshay y Yiannis] habían estado avanzando en una dirección en la que habían comenzado a ver las cosas en geometría simpléctica, y eso me hizo sonar varias campanas", dijo Ben-Zvi.

El siguiente paso vino de la física.

Durante décadas, físicos y matemáticos han utilizado las dualidades para encontrar nuevas descripciones de cómo funcionan las fuerzas de la naturaleza. El primer y más famoso ejemplo proviene de las ecuaciones de Maxwell, escritas por primera vez a finales del siglo XIX, que conectan los campos eléctricos y magnéticos. Las ecuaciones describen cómo un campo eléctrico cambiante crea un campo magnético y cómo un campo magnético cambiante crea a su vez un campo eléctrico. En conjunto, pueden describirse como un único campo electromagnético. En el vacío, “estas ecuaciones tienen esta maravillosa simetría”, dijo Ben-Zvi. Matemáticamente, la electricidad y el magnetismo pueden intercambiar lugares sin cambiar el comportamiento del campo electromagnético conjunto.

A veces los investigadores se inspiran en la física para demostrar resultados puramente matemáticos. Por ejemplo, en un artículo de 2008, los físicos Davide Gaiotto y Edward Witten mostraron cómo los espacios geométricos relacionados con las teorías cuánticas de campos del electromagnetismo encajan en el programa geométrico de Langlands. Estos espacios vienen en pares, uno para cada lado de la dualidad electromagnética: Hamiltoniano G-espacios y su dual: hamiltoniano Ğ-espacios (se pronuncia G-hat espacios).

Ben-Zvi había absorbido el artículo de Gaiotto-Witten cuando apareció y había utilizado el marco de física que le proporcionaron para pensar en cuestiones geométricas de Langlands. Pero ese trabajo (y mucho menos el artículo de física que ayudó a motivarlo) no tenía conexión alguna con el programa Langlands original.

Es decir, hasta que Ben-Zvi se encontró entre la audiencia del IAS escuchando a Venkatesh. Escuchó a Venkatesh explicar que, después de su libro de 2012, él y Sakellaridis habían llegado a creer que la forma geométrica correcta de pensar en los períodos era en términos del hamiltoniano. G-espacios. Pero Venkatesh admitió que no sabían con qué tipo de objeto geométrico emparejar. L-funciones.

Eso hizo sonar las campanas para Ben-Zvi. Una vez que Sakellaridis y Venkatesh conectaron períodos con el hamiltoniano G-espacios, inmediatamente quedó claro para qué sirven los objetos geométricos duales L-las funciones deben ser: aquellas Ğ-espacios que Gaiotto y Witten habían dicho que eran el dual de G-espacios. Para Ben-Zvi, todas estas dualidades, entre aritmética, geometría y física, parecían converger. Aunque no entendía toda la teoría de números, estaba convencido de que todo era parte de "un cuadro grande y hermoso".

A G o no a Ğ

En la primavera de 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis y Venkatesh se reunieron periódicamente en el restaurante del campus del Instituto de Estudios Avanzados; En el transcurso de un par de meses, descubrieron cómo interpretar los datos extraídos de L-funciona como una receta para construir el hamiltoniano Ğ-espacios. En el cuadro que establecieron, la dualidad entre períodos y L-funciones se traduce en una dualidad geométrica que tiene sentido dentro del programa geométrico de Langlands y se origina en la dualidad entre electricidad y magnetismo. La física y la aritmética se convierten en ecos mutuos, de una manera que resuena en todo el programa Langlands.

"Se podría decir que el entorno original de Langlands es ahora un caso especial de este nuevo marco", dijo Gan.

Al unificar fenómenos dispares, los tres matemáticos han llevado parte del orden intrínseco a la relación entre electricidad y magnetismo a la relación entre períodos y L-funciones.

“La interpretación física de la correspondencia geométrica de Langlands la hace mucho más natural; encaja en este cuadro general de dualidades”, dijo Kim. "En cierto modo, lo que [este nuevo trabajo] hace es una manera de interpretar la correspondencia aritmética utilizando el mismo tipo de lenguaje".

El trabajo tiene limitaciones. En particular, los tres matemáticos prueban la dualidad entre períodos y L-funciones sobre sistemas numéricos que surgen en geometría llamados campos funcionales, en lugar de campos numéricos, como los números reales, que son el verdadero hogar del programa Langlands.

“La imagen básica está destinada a repasar los campos numéricos. Creo que todo esto eventualmente se desarrollará para campos numéricos”, dijo Venkatesh.

Incluso en campos funcionales, el trabajo pone orden en la relación entre períodos y L-funciones. Durante los meses que Venkatesh llevó una copia impresa en su bolsillo, él y Sakellaridis no tenían idea de por qué esos L-las funciones deben ser las que están asociadas a períodos. Ahora la relación tiene sentido en ambas direcciones. Pueden traducir libremente utilizando un idioma común.

“He conocido todos estos períodos y de repente aprendí que puedo darle la vuelta a cada uno y se convierte en otro que también conocía. Es una conclusión muy impactante”, dijo Venkatesh.