En matemáticas, reglas simples pueden desbloquear universos de complejidad y belleza. Tomemos como ejemplo la famosa secuencia de Fibonacci, que se define de la siguiente manera: comienza con 1 y 1, y cada número posterior es la suma de los dos anteriores. Los primeros números son:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Sencilla, sí, pero esta sencilla receta da lugar a un patrón de gran importancia, que parece estar entretejido en el tejido mismo del mundo natural. Se ve en los verticilos de las conchas de los nautilos, los huesos de nuestros dedos y la disposición de las hojas en las ramas de los árboles. Su alcance matemático se extiende a la geometría, el álgebra y la probabilidad, entre otras áreas. Ocho siglos desde que la secuencia fue introducida en Occidente (los matemáticos indios la estudiaron mucho antes que Fibonacci), los números continúan atrayendo el interés de los investigadores, un testimonio de cuánta profundidad matemática puede subyacer incluso en la secuencia numérica más elemental.

En la secuencia de Fibonacci, cada término se basa en los anteriores. Estas secuencias recursivas pueden exhibir una amplia gama de comportamientos, algunos maravillosamente contrarios a la intuición. Tomemos, por ejemplo, una curiosa familia de secuencias descritas por primera vez en los años 1980 por el matemático estadounidense Michael Somos.

Al igual que la secuencia de Fibonacci, una secuencia de Somos comienza con una serie de unos. Un Somos-k la secuencia comienza con k de ellos. Cada nuevo mandato de Somos-k La secuencia se define emparejando los términos anteriores, multiplicando cada par, sumando los pares y luego dividiendo por el término. k posiciones en la secuencia.

Las secuencias no son muy interesantes si k es igual a 1, 2 o 3; son solo una serie de números que se repiten. Pero para k = 4, 5, 6 o 7 las secuencias tienen una propiedad extraña. Aunque hay mucha división involucrada, las fracciones no aparecen.

"Normalmente no tenemos este tipo de fenómeno", dijo Somos. “Es una recurrencia engañosamente simple, similar a Fibonacci. Pero hay mucho detrás de esa simplicidad”.

Otros matemáticos continúan descubriendo conexiones sorprendentes entre las secuencias de Somos y áreas de las matemáticas aparentemente no relacionadas. Un artículo publicado en julio los utiliza para construir soluciones a un sistema de ecuaciones diferenciales utilizado para modelar todo, desde interacciones depredador-presa hasta ondas que viajan en plasmas de alta energía. También se utilizan para estudiar la estructura de objetos matemáticos llamados álgebras de conglomerados y están conectados a curvas elípticas - que fueron la clave para descifrar el último teorema de Fermat.

Janice Malouf, estudiante de posgrado de la Universidad de Illinois, publicó la primera prueba de que las secuencias de Somos-4 y Somos-5 son integrales (lo que significa que todos sus términos son números enteros) en 1992. Otras pruebas Los resultados del mismo resultado de diferentes matemáticos aparecieron casi al mismo tiempo, junto con pruebas de que las secuencias de Somos-6 y Somos-7 son integrales.

Esta extraña propiedad de las secuencias de Somos asombró a los matemáticos. “Las secuencias de Somos me intrigaron tan pronto como supe de ellas”, dijo james propp, profesor de matemáticas en la Universidad de Massachusetts, Lowell. “El hecho de que Somos-4 a Somos-7 siempre proporcionen números enteros, sin importar lo lejos que vayamos, parecía un milagro cuando se veían las cosas desde una perspectiva ingenua. Por eso se necesitaba una perspectiva diferente”.

Propp encontró una nueva perspectiva a principios de la década de 2000, cuando él y sus colegas descubrieron que los números en la secuencia de Somos-4 en realidad cuentan algo. Los términos de la secuencia corresponden a estructuras que se encuentran en ciertos gráficos. Para algunos gráficos, es posible emparejar vértices (puntos) con aristas (líneas) de modo que cada vértice esté conectado exactamente a otro vértice; no hay vértices desapareados ni ningún vértice conectado a más de una arista. Los términos de la secuencia Somos-4 cuentan el número de coincidencias perfectas diferentes para una secuencia particular de gráficos.

El descubrimiento no sólo ofreció una nueva perspectiva sobre las secuencias de Somos, sino que también introdujo nuevas formas de pensar y analizar las transformaciones de gráficos. Propp y sus alumnos celebraron colocando el resultado en un Camisetas.

"Para mí, una gran parte del atractivo de las matemáticas es cuando llegas al mismo destino por caminos diferentes y parece que algo milagroso o profundo está sucediendo", dijo Propp. “Lo bueno de estas secuencias es que hay varios puntos de vista que explican por qué se obtienen números enteros. Hay profundidades ocultas allí”.

La historia cambia para las secuencias de Somos con números más altos. Los primeros 18 términos de Somos-8 son números enteros, pero el término 19 es una fracción. Cada secuencia de Somos posterior también contiene valores fraccionarios.

Otro tipo de secuencia, desarrollado por el matemático alemán Fritz Göbel en la década de 1970, es un contrapunto interesante a las secuencias de Somos. El nEl décimo término de la secuencia de Göbel se define como la suma de los cuadrados de todos los términos anteriores, más 1, dividido por n. Al igual que las secuencias de Somos, la secuencia de Göbel implica división, por lo que podríamos esperar que los términos no sigan siendo números enteros. Pero por un tiempo, a medida que la secuencia se vuelve enorme, parecen serlo.

El décimo término de la secuencia de Göbel es aproximadamente 10 millones, el undécimo 1.5, unos mil millones. El término 11 es demasiado grande para calcularlo: tiene unos 267 mil millones de dígitos. Pero en 43, el matemático holandés Hendrik Lenstra demostró que a diferencia de los primeros 42 términos, este término 43 no es un número entero.

Las secuencias de Göbel se pueden generalizar reemplazando los cuadrados de la suma con cubos, cuartas potencias o incluso exponentes más altos. (Según esta convención, su secuencia original se llama secuencia de 2 Göbel). Estas secuencias también muestran una tendencia sorprendente a comenzar con una extensión extendida de términos enteros. En 1988, Henry Ibstedt mostró que los primeros 89 términos de la secuencia de 3 Göbel (que usa cubos en lugar de cuadrados) son números enteros, pero el 90 no lo es. Investigaciones posteriores sobre otras secuencias de Göbel encontraron tramos aún más largos. La secuencia de 31 Göbel, por ejemplo, comienza con la friolera de 1,077 términos enteros.

En julio, los matemáticos de la Universidad de Kyushu, Rinnosuke Matsuhira, Toshiki Matsusaka y Koki Tsuchida compartió un papel demostrando que por un k-Secuencia de Göbel, sin importar la elección de k, los primeros 19 términos de la secuencia son siempre números enteros. Se inspiraron para investigar la cuestión en un manga japonés llamado Seisū-tan, que se traduce como "El cuento de los enteros". A marco en el cómic pidió a los lectores que calcularan el valor mínimo posible de N_k, el punto en el que un k-La secuencia de Göbel deja de producir términos enteros. Los tres matemáticos se propusieron responder a la pregunta. "La inesperada persistencia de números enteros durante un período tan prolongado contradice nuestra intuición", dijo Matsusaka. "Cuando ocurren fenómenos contrarios a la intuición, creo que siempre hay belleza presente".

Encontraron un patrón de comportamiento repetitivo a medida que k aumenta. Al centrarse en un número finito de casos repetidos, hicieron que el cálculo fuera manejable y pudieron completar la prueba.

Una mirada más cercana a la secuencia. N_k revela otra sorpresa: N_k es primo con mucha más frecuencia de lo que cabría esperar si fuera puramente aleatorio. "Con el k"En la secuencia de Göbel no sólo es destacable que sean números enteros", dijo Richard Green, matemático de la Universidad de Colorado. “Lo sorprendente es que los números primos aparecen con tanta frecuencia. Eso hace que parezca que algo más profundo podría estar sucediendo”.

Aunque el nuevo artículo presenta una prueba de que N_k siempre es al menos 19, no se sabe si siempre es finito o si existe un k para lo cual la secuencia contiene números enteros indefinidamente. “N_k se comporta misteriosamente. …Existe un deseo fundamental de comprender su patrón subyacente”, dijo Matsusaka. “Podría ser similar a la alegría que sentía cuando era niño al resolver acertijos que me daban los maestros. Incluso ahora, esos sentimientos de esa época persisten dentro de mí”.

¿Cuánto está realizando una serie de encuestas para servir mejor a nuestra audiencia. Toma nuestro encuesta de lectores de matemáticas y entrarás para ganar gratis ¿Cuánto merchandising