"En matemáticas hay cinco operaciones fundamentales", supuestamente dijo el matemático alemán Martin Eichler. “Suma, resta, multiplicación, división y formas modulares”.

Parte del chiste, por supuesto, es que uno de ellos no es como los demás. Las formas modulares son funciones mucho más complicadas y enigmáticas, y los estudiantes no suelen encontrarlas hasta la escuela de posgrado. Pero "probablemente hay menos áreas de matemáticas en las que no tienen aplicaciones que en las que sí las tienen", dijo Don Zagier, matemático del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn, Alemania. Cada semana, nuevos artículos amplían su alcance a la teoría de números, la geometría, la combinatoria, la topología, la criptografía e incluso la teoría de cuerdas.

A menudo se describen como funciones que satisfacen simetrías tan llamativas y elaboradas que no deberían ser posibles. Las propiedades que conllevan esas simetrías hacen que las formas modulares sean inmensamente poderosas. Es lo que los convirtió en actores clave en la histórica demostración del último teorema de Fermat en 1994. Es lo que los hizo centrales para Trabajo más reciente sobre embalaje de esferas.. Y es lo que ahora los hace cruciales para el desarrollo continuo de una "teoría matemática del todo" llamada programa Langlands.

¿Pero que son?

Simetrías infinitas

Para comprender una forma modular, es útil pensar primero en simetrías más familiares.

En general, se dice que una forma tiene simetría cuando hay alguna transformación que la deja igual.

Una función también puede presentar simetrías. Considere la parábola definida por la ecuación $látex f(x) = x^2$. Satisface una simetría: puede reflejarse sobre el y-eje. Por ejemplo, $látex f(3) = f(−3) = 9$. De manera más general, si cambia cualquier entrada $latex x$ a $latex -x$, entonces $latex x^2$ genera el mismo valor.

Infinitas funciones satisfacen esta simetría. Éstos son sólo algunos:

El último ejemplo es la función coseno de trigonometría. Presenta simetría de reflexión, pero también tiene otras simetrías. Si cambias $latex x$ por múltiplos enteros de $latex 2pi$, la función siempre devuelve el mismo valor, lo que significa que hay infinitas transformaciones que pueden dejar la función sin cambios.

Esta simetría adicional hace que funciones como el coseno sean increíblemente útiles. "Gran parte de la física básica comienza con la comprensión de todas las implicaciones de las funciones trigonométricas", dijo ken ono, matemático de la Universidad de Virginia.

"Las formas modulares son algo así como funciones trigonométricas, pero con esteroides", añadió. Satisfacen infinitas simetrías "ocultas".

El universo complejo

Las funciones solo pueden hacer mucho cuando se definen en términos de números reales, valores que se pueden expresar como un decimal convencional. Como resultado, los matemáticos suelen recurrir a los números complejos, que pueden considerarse como pares de números reales. Cualquier número complejo se describe en términos de dos valores: un componente "real" y otro "imaginario", que es un número real multiplicado por la raíz cuadrada de −1 (que los matemáticos escriben como $látex i$).

Por tanto, cualquier número complejo se puede representar como un punto en un plano bidimensional.

Es difícil visualizar funciones de números complejos, por lo que los matemáticos suelen recurrir al color. Por ejemplo, puedes colorear el plano complejo para que parezca una rueda de arcoíris. El color de cada punto corresponde a su ángulo en coordenadas polares. Directamente a la derecha del centro, donde los puntos tienen un ángulo de 0 grados, se pone rojo. A 90 grados, o hacia arriba, los puntos son de color verde brillante. Etcétera. Finalmente, las curvas de nivel marcan cambios de tamaño o magnitud, como en un mapa topográfico.

Ahora puedes usar esto como gráfico de referencia para ilustrar funciones complejas. La posición de un punto en el plano representa la entrada y le asignará a ese punto un color según el gráfico de referencia. Por ejemplo, considere la función $látex f(z) = z^2$. Cuando $látex z = 1 + i$, $látex f(z) = 2i$, ya que $látex (1 + i)^2 = 2i$. Debido a que $latex 2i$ está coloreado de verde brillante en el gráfico de referencia, en tu nuevo gráfico colorearás el punto $latex 1 + i$ de verde brillante.

La gráfica de $látex f(z) = z^2$ recorre los colores dos veces, porque elevar al cuadrado un número complejo duplica su ángulo. También tiene más líneas de contorno, porque las salidas crecen en tamaño más rápidamente.

De manera más general, el gráfico se ve igual cuando reflejas puntos sobre una línea diagonal trazada a través del centro (u origen).

Esta es una simetría de una función de valores complejos. Las formas modulares exhiben una variedad desconcertante de tales simetrías. Pero puede resultar difícil entender la función real que representan esos colores y líneas de contorno.

El dominio fundamental

Para hacerlo, es útil intentar simplificar la forma en que analizamos estas funciones complicadas.

Debido a las simetrías de la forma modular, se puede calcular la función completa basándose solo en una pequeña porción de entradas, ubicada en una región del plano llamada dominio fundamental. Esta región parece una franja que sube desde el eje horizontal con un agujero semicircular cortado en su parte inferior.

Si sabes cómo se comporta la función allí, sabrás qué hace en todos los demás lugares.

Así es cómo:

Dos tipos de transformaciones copian el dominio fundamental hacia la derecha y hacia la izquierda, así como a una serie de semicírculos cada vez más pequeños a lo largo del eje horizontal. Estas copias llenan toda la mitad superior del plano complejo.

Una forma modular relaciona las copias entre sí de una manera muy particular. Ahí es donde sus simetrías entran en escena.

Si puedes pasar de un punto en una copia a un punto en otra mediante el primer tipo de transformación (desplazando una unidad hacia la izquierda o hacia la derecha), entonces la forma modular asigna el mismo valor a esos dos puntos. Así como los valores de la función coseno se repiten en intervalos de $látex 2pi$, una forma modular es periódica en intervalos de una unidad.

Mientras tanto, puedes pasar de un punto en una copia a un punto en otra mediante el segundo tipo de transformación: reflejando sobre el límite del círculo con radio 1 centrado en el origen. En este caso, la forma modular no necesariamente asigna el mismo valor a esos puntos. Sin embargo, los valores en los dos puntos se relacionan entre sí de forma regular, lo que también da lugar a la simetría.

Puedes combinar estas transformaciones de infinitas maneras, lo que te da las infinitas condiciones de simetría que debe satisfacer la forma modular.

"Eso no necesariamente suena muy emocionante", dijo Juan Voight, matemático del Dartmouth College. “Quiero decir, dividir el semiplano superior y poner números en varios lugares, ¿a quién le importa?”

"Pero son muy elementales", añadió. Y hay una razón por la que ese es el caso.

Espacios controlados

En las décadas de 1920 y 30, el matemático alemán Erich Hecke desarrolló una teoría más profunda sobre las formas modulares. Fundamentalmente, se dio cuenta de que existen en ciertos espacios, espacios con dimensiones específicas y otras propiedades. Descubrió cómo describir estos espacios de forma concreta y utilizarlos para relacionar diferentes formas modulares entre sí.

Esta comprensión ha impulsado muchas matemáticas de los siglos XX y XXI.

Para entender cómo, primero considere una vieja pregunta: ¿De cuántas maneras se puede escribir un número entero dado como la suma de cuatro cuadrados? Por ejemplo, solo hay una forma de escribir cero, mientras que hay ocho formas de expresar 1, 24 formas de expresar 2 y 32 formas de expresar 3. Para estudiar esta secuencia (1, 8, 24, 32, etc.) los matemáticos lo codificaron en una suma infinita llamada función generadora:

$látex 1 + 8q + {{24q}^2} + {{32q}^3} + {{24q}^4} + {{48q}^5} + …$

No había necesariamente una manera de saber cuál debería ser el coeficiente de, digamos, $látex q^{174}$; esa era precisamente la pregunta que intentaban responder. Pero al convertir la secuencia en una función generadora, los matemáticos podrían aplicar herramientas del cálculo y otros campos para inferir información sobre ella. Por ejemplo, podrían encontrar una forma de aproximar el valor de cualquier coeficiente.

Pero resulta que si la función generadora es una forma modular, puedes hacerlo mucho mejor: puedes conseguir una fórmula exacta para cada coeficiente.

"Si sabes que es una forma modular, entonces lo sabes todo", dijo Jan Bruinier de la Universidad Técnica de Darmstadt en Alemania.

Esto se debe a que las infinitas simetrías de la forma modular no sólo son hermosas a la vista: "son muy restrictivas", dijo Larry Rolen de la Universidad de Vanderbilt, que pueden convertirse en "una herramienta para probar automáticamente congruencias e identidades entre cosas".

Los matemáticos y físicos suelen codificar cuestiones de interés en funciones generadoras. Es posible que quieran contar el número de puntos en curvas especiales o el número de estados en ciertos sistemas físicos. "Si tenemos suerte, será una forma modular", dijo Claudia Alfes-Neumann, matemático de la Universidad de Bielefeld en Alemania. Esto puede ser muy difícil de demostrar, pero si se puede, entonces “la teoría de las formas modulares es tan rica que ofrece toneladas de posibilidades para investigar estos coeficientes [en series]”.

Bloques de construcción

Cualquier forma modular parecerá muy complicada. Algunas de las más simples, que se utilizan como bloques de construcción para otras formas modulares, se llaman series Eisenstein.

Puedes pensar en una serie de Eisenstein como una suma infinita de funciones. Para determinar cada una de esas funciones, use los puntos en una cuadrícula 2D infinita:

Cuando agregas las funciones asociadas a solo cuatro puntos en la cuadrícula cerca del origen, puedes ver cómo comienzan a surgir distintas simetrías.

Si tomas la suma total de las infinitas funciones de la cuadrícula, obtienes una serie de Eisenstein que es posiblemente la forma modular más fácil de escribir. Los patrones reflejan las simetrías que definen la forma: se repiten sin cesar hacia la izquierda y hacia la derecha y se transforman de maneras más complicadas más cerca del eje horizontal.

El juego continúa

El estudio de las formas modulares ha dado lugar a una avalancha de triunfos matemáticos. Por ejemplo, un trabajo reciente sobre el embalaje de esferas, realizado por la matemática ucraniana Maryna Viazovska ganó la medalla Fields el año pasado, utilizó formas modulares. "Cuando vi eso, me sorprendió bastante", dijo Bruinier. "Pero de alguna manera funciona".

Las formas modulares han resultado estar conectadas a un importante objeto algebraico llamado grupo de monstruos. Se han utilizado para construir tipos especiales de redes llamadas gráficos de expansión, que aparecen en informática, teoría de las comunicaciones y otras aplicaciones. Han hecho posible estudiar modelos potenciales de interacciones entre partículas en la teoría de cuerdas y la física cuántica.

Quizás la más famosa fue la demostración de 1994 del último teorema de Fermat que dependía de formas modulares. El teorema, ampliamente considerado como uno de los problemas más importantes de la teoría de números, establece que no hay tres números enteros distintos de cero. a, b y c que satisfacen la ecuación $latex {a^n} + {b^n} = {c^n}$ cuando $latex n$ es un número entero mayor que 2. El matemático Andrew Wiles demostró que era cierto asumiendo lo contrario: que a La solución a la ecuación existe, y luego usar formas modulares para mostrar que tal suposición debe conducir a una contradicción.

Primero utilizó su supuesta solución para construir un objeto matemático llamado curva elíptica. Luego demostró que siempre se puede asociar una forma modular única a dicha curva. Sin embargo, la teoría de las formas modulares dictaba que, en este caso, esa forma modular no podía existir. "Es demasiado bueno para ser verdad", dijo Voight. Lo que significaba, a su vez, que la solución supuesta no podía existir, confirmando así el último teorema de Fermat.

Esto no sólo resolvió un problema de siglos de antigüedad; también proporcionó una mejor comprensión de las curvas elípticas, que pueden ser difíciles de estudiar directamente (y que desempeñan un papel importante en la criptografía y los códigos de corrección de errores).

La prueba también iluminó un puente entre la geometría y la teoría de números. Desde entonces, ese puente se ha ampliado hasta convertirse en programa Langlands, un conjunto más amplio de conexiones entre los dos campos, y el tema de uno de los esfuerzos de investigación centrales de las matemáticas contemporáneas. Las formas modulares también se han generalizado en otras áreas, donde apenas se empiezan a reconocer sus posibles aplicaciones.

Siguen apareciendo por todas partes en matemáticas y física, a veces de forma bastante misteriosa. "Miré en un artículo sobre los agujeros negros", dijo Steve Kudla de la Universidad de Toronto, “y encuentro formas modulares que son amigas mías. Pero no sé por qué están ahí”.

"De alguna manera", añadió, "las formas modulares capturan algunas de las simetrías más fundamentales del mundo".