El cambio de planes llegó en un viaje por carretera. En un hermoso día del pasado mes de abril, los matemáticos raquel greenfield y Sara Pelusa Salieron de su institución de origen, el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey, y se dirigieron a Rochester, Nueva York, donde ambos tenían previsto dar charlas al día siguiente.

Habían estado luchando durante casi dos años con una conjetura importante en el análisis armónico, el campo que estudia cómo descomponer señales complejas en sus frecuencias componentes. Junto con un tercer colaborador, Marina Iliopoulou, estaban estudiando una versión del problema en la que las frecuencias componentes se representan como puntos en un plano cuyas distancias entre sí están relacionadas con números enteros. Los tres investigadores intentaban demostrar que no podía haber muchos de estos puntos, pero hasta el momento todas sus técnicas se habían quedado cortas.

Parecían estar haciendo girar sus ruedas. Entonces Peluse tuvo una idea: ¿Qué pasaría si abandonaran el problema del análisis armónico (temporalmente, por supuesto) y centraran su atención en conjuntos de puntos en los que la distancia entre dos puntos cualesquiera sea exactamente un número entero? ¿Qué posibles estructuras pueden tener tales conjuntos? Los matemáticos han intentado comprender los conjuntos de distancias enteras desde la antigüedad. Por ejemplo, los triples pitagóricos (como 3, 4 y 5) representan triángulos rectángulos cuyos tres vértices están separados por distancias enteras.

“En el auto, supongo que porque Rachel estaba atrapada conmigo, lo mencioné”, dijo Peluse, quien ahora es profesora en la Universidad de Michigan. La idea de abordar la distancia entera electrizó a Greenfeld.

Antes de que se dieran cuenta, se habían embarcado no en un cambio de dirección sino en dos.

"De hecho, dejamos de prestar atención a dónde íbamos y no nos salimos de la autopista", dijo Peluse. “Íbamos en dirección opuesta a Rochester durante aproximadamente una hora antes de que nos diésemos cuenta, porque estábamos muy entusiasmados con las matemáticas”.

En 1945, Norman Anning y Paul Erdős demostrado que un conjunto infinito de puntos en el plano que están todos separados por distancias enteras debe estar sobre una línea. Para un conjunto finito de puntos, las posibilidades son un poco más variadas. Los matemáticos han construido grandes conjuntos que se encuentran en una línea o en un círculo, a veces con tres o cuatro puntos adicionales que están fuera de la calle principal. (Los puntos en sí no tienen por qué tener coordenadas enteras; la pregunta es sobre las distancias entre ellos).

Nadie ha llegado a un gran conjunto de puntos con ninguna otra configuración, pero nadie ha demostrado que otras configuraciones sean imposibles. En los casi 80 años transcurridos desde el resultado de Anning y Erdős, el tema prácticamente no ha experimentado ningún progreso... hasta ahora.

Greenfeld, Iliopoulou y Peluse han demostrado que todos los puntos en un conjunto de distancias entero grande (excepto quizás un puñado de puntos atípicos) deben estar en una sola línea o círculo. "Si quieres tener un conjunto grande donde todas las distancias por pares sean números enteros, entonces los círculos y las líneas son los únicos jugadores", dijo József Solymosi de la Universidad de Columbia Británica. Calificó su resultado como una “solución fantástica”.

El nuevo enfoque utiliza ideas y técnicas de tres áreas distintas de las matemáticas: combinatoria, teoría de números y geometría algebraica. Esta unión de diferentes campos "podría ser un verdadero avance psicológico", afirmó terence tao, matemático de la Universidad de California, Los Ángeles.

alex iosevich, de la Universidad de Rochester, está de acuerdo. "Sentaron una base muy sólida para un conjunto muy amplio de problemas", afirmó. "No tengo ninguna duda de que esto encontrará aplicaciones aún más profundas".

Los límites de la simplicidad

Dentro de un plano, es fácil elegir un conjunto infinito de puntos que están separados por distancias enteras; simplemente toma tu recta favorita, imagina una recta numérica superpuesta a ella y usa algunos o todos los puntos correspondientes a números enteros. Pero esta es la única manera de construir una distancia entera infinita establecida en el plano, como se dieron cuenta Anning y Erdős en 1945. Tan pronto como tienes sólo tres puntos que no están todos en la misma línea, tu configuración se vuelve tan restringida que es imposible para sumar infinitos puntos más.

La razón se reduce a una simple geometría. Imagínese comenzar con dos puntos, A y B, que están separados por una distancia entera. Si desea agregar un tercer punto, C, que esté a una distancia entera de A y B pero que no se encuentre en la línea que los pasa, la mayoría de los puntos en el plano no funcionarán. Los únicos puntos viables se encuentran en curvas especiales llamadas hipérbolas que cortan entre A y B. Si A y B están, digamos, a 4 unidades de distancia, entonces hay exactamente cuatro de estas hipérbolas. (Una hipérbola suele tener dos partes distintas, por lo que, por ejemplo, las dos curvas rojas en la figura siguiente forman una sola hipérbola).

Una vez que hayas elegido C (que en este ejemplo son 3 unidades de A y 5 unidades de B), apenas tendrás opciones para sumar más puntos. Cualquier punto que puedas agregar debe estar en una de las hipérbolas entre A y B, o en la línea que las atraviesa. Pero también debe estar en una de las hipérbolas entre A y C, y en una de las hipérbolas entre B y C (o las líneas correspondientes); en otras palabras, un nuevo punto sólo puede colocarse donde tres hipérbolas o líneas se cruzan (aunque no todos los puntos de intersección funcionarán). Para empezar, solo hay un número finito de estas hipérbolas y líneas, y dos hipérbolas (o líneas) pueden cruzarse en un máximo de cuatro puntos. Por lo tanto, terminas teniendo sólo un número finito de puntos de intersección para elegir; no puedes construir un conjunto infinito.

Cuando se trata de comprender cómo es realmente un conjunto finito de puntos de distancia enteros, el enfoque de la hipérbola rápidamente se vuelve difícil de manejar. A medida que sumas puntos, tienes que lidiar con un número creciente de hipérbolas. Por ejemplo, cuando su conjunto tenga solo 10 puntos, agregar un 11 creará 10 nuevas familias de hipérbolas, todas aquellas entre su nuevo punto y cada uno de los puntos que ya están en el conjunto. "No puedes sumar muchos puntos porque te perderás en todas esas hipérbolas e intersecciones", dijo Greenfeld.

Por eso, los matemáticos han buscado principios más manejables para construir grandes conjuntos de puntos enteros a distancia que no se encuentran en una línea. Pero sólo han podido encontrar un enfoque: poner los puntos en un círculo. Si desea establecer una distancia entera con, digamos, un billón de puntos, hay formas de obtener un billón de puntos en un círculo de radio 1 cuyas distancias son todas fracciones. Luego puedes inflar el círculo hasta que todas las distancias fraccionarias se conviertan en números enteros. Cuantos más puntos quieras en tu conjunto, más necesitarás para inflar el círculo.

A lo largo de los años, los matemáticos han encontrado ejemplos sólo un poco más exóticos. Pueden construir conjuntos de distancias enteras grandes en los que todos los puntos, excepto cuatro, se encuentran en una línea o todos, excepto tres, se encuentran en un círculo. Muchos matemáticos sospechan que estos son los únicos conjuntos de distancias enteras grandes en los que no todos los puntos están en una línea o un círculo. Lo sabrán con seguridad si alguna vez pueden probar algo llamado la conjetura de Bombieri-Lang. Pero los matemáticos están divididos sobre si esta conjetura es probable que sea cierta.

Desde el trabajo de Anning y Erdős en 1945, los matemáticos han avanzado poco en la comprensión de los conjuntos de distancias enteras. Con el tiempo, el problema de la distancia entera pareció unirse a una serie de otros problemas de combinatoria, teoría de números y geometría que son simples de formular pero aparentemente imposibles de resolver. "Es una medida de cuán patéticas son nuestras matemáticas", dijo Tao.

En cierto modo, el problema de la distancia entera fue víctima de sus propios éxitos iniciales. La prueba de hipérbola, con su ingeniosa simplicidad, es emblemática de la filosofía propugnada por Erdős, un matemático muy influyente que a menudo hablaba de “El Libro”, un volumen imaginado de las demostraciones más elegantes de las matemáticas. La cultura de la simplicidad que promovió Erdős ha dado lugar a “resultados tremendos” en geometría combinatoria, dijo Iosevich. Pero también puede conducir a puntos ciegos, en este caso, sobre el valor de incorporar enfoques de la geometría algebraica.

"No creo que se encuentre un resultado [en geometría algebraica] probado en los últimos 50 años que no sea técnicamente complicado y complicado", dijo Iosevich. "Sin embargo, a veces las cosas tienen que ser así".

En retrospectiva, el problema de la distancia de los enteros estaba esperando a los matemáticos que estuvieran dispuestos a considerar curvas más rebeldes que las hipérbolas y luego recurrir a herramientas recónditas de la geometría algebraica y la teoría de números para dominarlas. “Se necesitaba gente con suficiente conocimiento e interés”, dijo Iosevich.

La mayoría de los matemáticos, dijo, se contentan con utilizar unas pocas herramientas en un rincón de las matemáticas durante toda su carrera. Pero Greenfeld, Iliopoulou y Peluse son exploradores intrépidos, afirmó Iosevich. "Ven las matemáticas como un todo coherente".

Complejizando el problema

En el verano de 2021, Greenfeld decidió que era hora de intentar solucionar un problema de análisis armónico en el que había estado reflexionando desde sus estudios de posgrado. El análisis armónico clásico, que constituye la base del procesamiento de señales en el mundo real, consiste en descomponer señales en ondas sinusoidales de diferentes frecuencias y fases. Este proceso funciona porque es posible hacer una lista infinita de ondas sinusoidales que, cuando se combinan, capturan todas las características de cualquier señal, sin ninguna redundancia.

Sin embargo, a menudo los investigadores quieren estudiar algo más complicado que una señal unidimensional. Por ejemplo, es posible que quieran descomponer una señal en un disco en el avión. Pero el disco sólo puede albergar una colección finita de ondas sinusoidales compatibles: muy pocas para capturar el comportamiento de todas las señales posibles en el disco. La pregunta entonces es: ¿Qué tamaño puede tener esta colección finita?

En tal colección, las frecuencias de los senos se pueden representar como puntos en el plano que parecen reacios a agruparse en líneas y círculos: nunca encontrarás tres puntos que estén todos cerca de la misma línea, o cuatro que estén todos cerca de la misma línea. al mismo círculo. Greenfeld esperaba utilizar esta aversión para demostrar que estos conjuntos de frecuencias sólo pueden contener unos pocos puntos.

En una reunión de 2021 en la Universidad de Bonn, Greenfeld asistió a una charla sobre el “método determinante”, una técnica de la teoría de números que puede usarse para estimar cuántos puntos enteros de ciertos tipos pueden encontrarse en curvas. Se dio cuenta de que esta herramienta podría ser justo lo que necesitaba. Greenfeld reclutó a Iliopoulou y Peluse, que también estaban en la reunión. "Comenzamos a aprender este método juntos", dijo Greenfeld.

Pero a pesar de muchos esfuerzos, parecía que no podían adaptar el método determinante a su propósito y, en la primavera de 2023, se sentían desanimados. Iosevich había invitado a Greenfeld y Peluse a visitar Rochester. “Así que pensamos: 'Está bien, iremos a Rochester y hablar con Alex nos revitalizará'”, dijo Peluse. Pero resultó que aterrizaron en Rochester ya revitalizados, gracias a una estimulante discusión sobre conjuntos de distancias enteras en su desvío no planificado a lo largo del río Susquehanna en Pensilvania.

Llegaron demasiado tarde para una cena planeada con Iosevich, pero lo encontraron esperando en el vestíbulo del hotel con bolsas de comida para llevar. Él perdonó su tardanza y fue más que indulgente a la mañana siguiente, cuando le contaron su plan de abordar series de distancia entera. “Estaba muy emocionado”, recordó Peluse. "Emocionalmente, esto fue un gran impulso".

Al igual que con el enfoque de la hipérbola, Greenfeld, Iliopoulou y Peluse intentaron controlar la estructura de conjuntos de distancias enteras identificando familias de curvas en las que deben ubicarse los puntos. El método de la hipérbola comienza a volverse demasiado complicado tan pronto como tienes más de unos pocos puntos, pero Greenfeld, Iliopoulou y Peluse descubrieron cómo considerar muchos puntos al mismo tiempo moviendo toda la configuración a un espacio de dimensiones superiores.

Para ver cómo funciona esto, supongamos que comienza con un punto de “referencia” A en su conjunto de distancias enteras. Cualquier otro punto del conjunto está a una distancia entera de A. Los puntos viven en un plano, pero puedes llevar el plano al espacio tridimensional añadiendo una tercera coordenada a cada punto, cuyo valor es la distancia desde A. Por ejemplo , supongamos que A es el punto (1, 3). Entonces el punto (4, 7), que está a 5 unidades de A, se convierte en el punto (4, 7, 5) en el espacio tridimensional. Este proceso convierte el plano en un cono en un espacio tridimensional cuya punta se encuentra en A, ahora etiquetado (1, 3, 0). Los puntos de distancia enteros se convierten en puntos en el espacio tridimensional que se encuentran en el cono y también en una determinada red.

De manera similar, si elige dos puntos de referencia, A y B, puede convertir puntos en el plano en puntos en un espacio de cuatro dimensiones; simplemente dé a cada punto dos nuevas coordenadas cuyos valores sean sus distancias a A y B. Este proceso convierte el plano en una superficie curva en un espacio de cuatro dimensiones. Puedes seguir agregando más puntos de referencia de esta manera. Con cada nuevo punto de referencia, la dimensión aumenta en uno y el plano se asigna a una superficie aún más ondulada (o, como dicen los matemáticos, a una superficie de mayor grado).

Con este marco establecido, los investigadores utilizaron el método determinante de la teoría de números. Los determinantes son números, generalmente asociados con matrices, que capturan una serie de propiedades geométricas de un conjunto de puntos; por ejemplo, un determinante particular podría medir el área del triángulo formado por tres de los puntos. El método de los determinantes ofrece una forma de utilizar dichos determinantes para estimar el número de puntos que se encuentran simultáneamente en una superficie ondulante y en una red (justo el tipo de situación con la que se enfrentaban Greenfeld, Iliopoulou y Peluse).

Los investigadores utilizaron una línea de trabajo basada en el método determinante para demostrar que cuando elevan su distancia entera configurada a una dimensión adecuadamente alta, todos los puntos deben estar en un pequeño número de curvas especiales. Estas curvas, cuando sus sombras en el plano no son una línea o un círculo, no pueden contener muchos puntos de la red, que son los únicos candidatos para puntos en la distancia entera establecida. Eso significa que el número de puntos en el conjunto que pueden estar fuera de la línea o círculo principal está limitado; los investigadores demostraron que debe ser menor que una función del diámetro del conjunto que crece muy lentamente.

Su límite no alcanza el estándar de la conjetura de “cuatro puntos fuera de la línea o tres puntos fuera del círculo” que muchos matemáticos creen que es cierta para conjuntos de distancias enteras grandes. Aun así, el resultado muestra que “la esencia de la conjetura es cierta”, dijo Jacob Fox de la Universidad de Stanford. Una prueba completa de la conjetura probablemente requerirá otra infusión de nuevas ideas, dijeron los matemáticos.

El esquema de codificación de alta dimensión del equipo es "extremadamente robusto", dijo Iosevich. "En principio, no sólo hay aplicaciones; hay aplicaciones en las que ya estoy pensando".

Greenfeld, Iliopoulou y Peluse esperan que una aplicación sea su problema de análisis armónico original, al que los tres están regresando ahora. Su resultado en conjuntos de distancias enteras "podría ser un trampolín hacia eso", dijo Greenfeld.

Iosevich predijo que la síntesis de combinatoria con geometría algebraica que iniciaron los investigadores no se detendrá con conjuntos de distancias enteras o problemas relacionados en el análisis armónico. "Creo que lo que estamos viendo es un avance conceptual", dijo. "Esto envía un mensaje a las personas en ambos campos de que se trata de una interacción muy productiva".

También envía un mensaje sobre el valor de complicar a veces un problema, dijo Tao. Los matemáticos suelen esforzarse por lograr lo contrario, señaló. "Pero este es un ejemplo en el que complicar el problema es en realidad la decisión correcta".

El avance ha cambiado su forma de pensar sobre las curvas de alto grado, afirmó. "A veces pueden ser tus amigos y no tus enemigos".