Imagine que una cuadrícula de hexágonos, en forma de panal, se extiende ante usted. Algunos hexágonos están vacíos; otros están llenos de una columna de hormigón sólido de 6 pies de altura. El resultado es una especie de laberinto. Durante más de medio siglo, los matemáticos han planteado preguntas sobre estos laberintos generados aleatoriamente. ¿Qué tamaño tiene la mayor red de caminos despejados? ¿Cuáles son las posibilidades de que haya un camino desde un borde hasta el centro de la cuadrícula y de regreso? ¿Cómo cambian esas posibilidades a medida que la cuadrícula aumenta de tamaño y agrega más y más hexágonos a sus bordes?

Estas preguntas son fáciles de responder si hay mucho espacio vacío o mucho concreto. Digamos que a cada hexágono se le asigna su estado al azar, independientemente de todos los demás hexágonos, con una probabilidad constante en toda la cuadrícula. Podría haber, digamos, una probabilidad del 1% de que cada hexágono esté vacío. El concreto abarrota la cuadrícula, dejando solo pequeñas bolsas de aire en el medio, lo que hace que la posibilidad de encontrar un camino hacia el borde sea efectivamente nula. Por otro lado, si hay un 99% de posibilidades de que cada hexágono esté vacío, solo hay una fina pizca de paredes de concreto, que marcan franjas de espacio abierto: no es un gran laberinto. Encontrar un camino desde el centro hasta el borde en este caso es casi una certeza.

Para cuadrículas grandes, hay un cambio notablemente repentino cuando la probabilidad llega a 1/2. Así como el hielo se derrite hasta convertirse en agua líquida exactamente a cero grados Celsius, el carácter del laberinto cambia drásticamente en este punto de transición, llamado probabilidad crítica. Por debajo de la probabilidad crítica, la mayor parte de la red quedará debajo del hormigón, mientras que los caminos vacíos invariablemente terminan en callejones sin salida. Por encima de la probabilidad crítica, grandes extensiones quedan vacías, y son los muros de hormigón los que seguramente desaparecerán. Si te detienes exactamente en la probabilidad crítica, el hormigón y el vacío se equilibrarán entre sí, sin que ninguno de los dos pueda dominar el laberinto.

"En el punto crítico, lo que emerge es un mayor grado de simetría", dijo miguel aizenman, físico matemático de la Universidad de Princeton. "Eso abre la puerta a un enorme corpus de matemáticas". También tiene aplicaciones prácticas para todo, desde el diseño de máscaras antigás hasta análisis de cómo se propagan enfermedades infecciosas o cómo el petróleo se filtra a través de las rocas.

En un artículo publicado el otoño pasadoFinalmente, cuatro investigadores calcularon la probabilidad de encontrar un camino para laberintos con una probabilidad crítica de 1/2.

Una carrera armamentista

Como estudiante de doctorado en Francia a mediados de la década de 2000, Pierre Nolin Estudió con gran detalle el escenario de probabilidad crítica. El laberinto aleatorio, piensa, es “un modelo realmente hermoso, tal vez uno de los modelos más simples que puedas inventar”. Cerca del final de sus estudios de doctorado, que terminó en 2008, Nolin quedó cautivado por una pregunta particularmente desafiante sobre cómo se comporta una cuadrícula hexagonal en la probabilidad crítica. Digamos que construyes una cuadrícula alrededor de un punto central, de modo que se aproxime a un círculo, y construyes tu laberinto al azar a partir de ahí. Nolin quería explorar la posibilidad de encontrar un camino abierto que vaya desde el borde hasta el centro y regrese, sin volver sobre sí mismo. Los matemáticos llaman a esto un camino monocromático de dos brazos, porque tanto los “brazos” internos como los externos están en caminos abiertos. (A veces se piensa que estas cuadrículas están hechas de dos colores diferentes, digamos azul claro y azul oscuro, en lugar de celdas abiertas y cerradas). Si aumenta el tamaño del laberinto, la longitud del camino necesario también crecerá. , y la posibilidad de encontrar ese camino será cada vez menor. Pero, ¿con qué rapidez disminuyen las probabilidades a medida que el laberinto crece arbitrariamente?

Hace décadas se respondieron preguntas relacionadas más simples. Cálculos de 1979 por Marcel den Nijs Estimó la probabilidad de que pueda encontrar un camino, o brazo, desde el borde hasta el centro. (Compare esto con el requisito de Nolin de que haya un brazo dentro y otro separado). El trabajo de Den Nijs predijo que la probabilidad de encontrar un brazo en una cuadrícula hexagonal es proporcional a $látex 1/n^{5/48}$ , dónde n es el número de mosaicos desde el centro hasta el borde, o el radio de la cuadrícula. En 2002, Gregorio Lawler, Oded Schramm y wendelin werner finalmente demostrado que la predicción de un brazo era correcta. Para cuantificar sucintamente la probabilidad decreciente a medida que crece el tamaño de la cuadrícula, los investigadores utilizan el exponente del denominador, 5/48, que se conoce como exponente de un brazo.

Nolin quería calcular el exponente monocromático de dos brazos, más esquivo. Simulaciones numéricas en 1999 demostró que estaba muy cerca de 0.3568, pero los matemáticos no lograron precisar su valor exacto.

Fue mucho más fácil calcular lo que se conoce como exponente policromático de dos brazos, que caracteriza la posibilidad de que, comenzando en el centro, se pueda encontrar no sólo un camino "abierto" hacia el perímetro, sino también un camino "cerrado" separado. (Piense en el camino cerrado como uno que atraviesa la parte superior de las paredes de hormigón del laberinto). En 2001, Stanislav Smirnov y Werner demostrado que este exponente era 1/4. (Debido a que 1/4 es sustancialmente mayor que 5/48, $latex 1/n^{1/4}$ se encoge más rápidamente que $latex 1/n^{5/48}$ como n crece. La probabilidad, entonces, de una estructura policromática de dos brazos es mucho menor que la de un brazo, como cabría esperar).

Ese cálculo se había basado en gran medida en el conocimiento sobre la forma de los grupos en el gráfico. Imaginemos que un laberinto con probabilidad crítica es extremadamente grande y está formado por millones y millones de hexágonos. Ahora busque un grupo de hexágonos vacíos y trace el borde del grupo con un marcador negro grueso. Probablemente esto no resulte en una simple mancha redonda. Desde millas en el aire, verías una curva serpenteante que constantemente se dobla hacia atrás, pareciendo a menudo como si estuviera a punto de cruzarse pero sin llegar a comprometerse.

Este es un tipo de curva llamada curva SLE, introducida por Schramm en un papel 2000 que redefinió el campo. Un matemático que estudia las posibilidades de encontrar un camino abierto y un camino cerrado sabe que esos caminos deben ubicarse dentro de grupos más grandes de sitios abiertos y cerrados, que eventualmente se encuentran a lo largo de una curva SLE. Las propiedades matemáticas de las curvas SLE se traducen en información invaluable sobre los caminos dentro del laberinto. Pero si los matemáticos buscan múltiples caminos del mismo tipo, las curvas SLE pierden gran parte de su eficacia.

En 2007, Nolin y su colaborador Vincent Beffara habían creado simulaciones numéricas que mostraban que el exponente monocromático de dos brazos era aproximadamente 0.35. Esto estaba sospechosamente cerca de 17/48: la suma del exponente de un brazo, 5/48, y el exponente policromático de dos brazos, 1/4 (o 12/48). "17/48 es realmente sorprendente", dijo Nolin. Comenzó a sospechar que 17/48 era la verdadera respuesta, lo que significaba que había un vínculo simple entre los diferentes tipos de exponentes. Podrías simplemente sumarlos. “Dijimos, está bien, es demasiado bueno para ser falso; Tiene que ser cierto."

Durante un tiempo, la conjetura de Nolin y Beffara no resultó en nada, aunque Nolin la publicó en su sitio web para que otros pudieran trabajar con ella. Se mudó a Hong Kong en 2017 para ocupar una cátedra en la Universidad de la Ciudad de Hong Kong y siguió trabajando en el problema. En 2018, mencionó al exponente en conversación con wei qian, que entonces era postdoctorado en la Universidad de Cambridge en Inglaterra. Qian estaba estudiando geometría aleatoria en un contexto continuo en lugar de discreto, con especial atención en las curvas SLE. Estaba en medio de un proyecto que utilizaba SLE para calcular exponentes en un tipo diferente de modelo aleatorio, y Nolin comenzó a sospechar que su experiencia también era relevante para el exponente monocromático de dos brazos. La pareja pronto encontró una ecuación aparentemente simple cuya solución daría el exponente, pero esa ecuación se basaba en una cantidad intermedia que tenía que ver con el espacio encerrado por una curva SLE en el borde de la cuadrícula. Nolin y Qian no pudieron precisar ese número.

"Hice muchos cálculos, pero todavía no podía calcular esta propiedad", dijo Qian. "No lo logré, así que lo dejé por un tiempo".

"Nunca se lo mencionamos a nadie porque no estábamos seguros de si sería útil o no", añadió Nolin.

El exponente de la columna vertebral

El exponente monocromático de dos brazos es particularmente interesante porque también describe la “columna vertebral” de una cuadrícula: la colección de hexágonos que están conectados a dos brazos distintos que se extienden a dos brazos que no se superponen: uno al borde del laberinto y otro al borde del laberinto. su centro. Cuando estos sitios están coloreados, forman una red que abarca toda la cuadrícula y se llama columna vertebral. Cuando los investigadores modelan la propagación de enfermedades o formaciones rocosas porosas, la columna vertebral es una carretera a lo largo de la cual pueden fluir microbios o petróleo. El exponente que buscaron Nolin y Qian revela el tamaño de la columna vertebral y se lo conoce como exponente de la columna vertebral.

Nolin y Qian no fueron los únicos que buscaban la columna vertebral. Sol Xin, entonces en la Universidad de Pensilvania, también había estado intentando calcular el exponente de la columna vertebral. Durante los años anteriores, Sun y sus colaboradores, incluida Nina Holden de la Universidad de Nueva York, habían descubierto una manera de estudiar las curvas SLE utilizando superficies fractales aleatorias. Estas extensas superficies curvas tienen bordes festoneados que se extienden formando largos zarcillos. Algunos puntos están a poca distancia de sus vecinos, mientras que otros están a un viaje de meses. En ciertos lugares, estos efectos son demasiado extremos para ser visualizados. "En realidad, no es posible dibujarlo" con total precisión, dijo Holden. "Habría que estirar mucho la superficie".

En el verano de 2022, Sun reclutó a Zijie Zhuang, una estudiante de posgrado de segundo año, para unirse al estudio del laberinto aleatorio con probabilidad crítica. Consideraron laberintos aleatorios donde los hexágonos se encontraban sobre una superficie fractal aleatoria, en lugar de sobre un plano. Debido a que el azar determina dónde y cuánto se estira y comprime la superficie, la superficie tiene propiedades únicas. (Estas propiedades también hacen que estas superficies sean útiles para los físicos que estudian modelos de gravedad cuántica en un universo bidimensional, lo que les da su nombre: superficies de gravedad cuántica de Liouville). Por ejemplo, si aplicas unas tijeras a una superficie de este tipo, las formas de las superficies dos mitades no dependen una de la otra. "Ese tipo de independencia realmente simplifica enormemente las cosas", afirmó scott sheffield del Instituto Tecnológico de Massachusetts. Cuando las cosas son aleatorias, sabes menos sobre ellas, pero eso puede significar menos información que explicar tediosamente.

Sun y Zhuang primero intentaron determinar la probabilidad de que hubiera un camino abierto que conectara un pequeño círculo alrededor del centro de la cuadrícula con un círculo circundante más grande. Después de responder a esa pregunta, Sun sugirió un paso adelante en su ambición: calcular la probabilidad de que hubiera dos caminos conectando los círculos anidados, lo que les habría dado una manera de calcular el exponente principal. Sin embargo, pronto se toparon con dificultades. "Probamos este enfoque durante varios meses, pero el cálculo no parece muy manejable", escribió Zhuang en un correo electrónico.

Mientras tanto, aunque Nolin y Qian no habían logrado encontrar el valor del exponente, progresaron en otros sentidos. Qian tomó una licencia de su puesto en el Centro Nacional Francés de Investigación Científica y se unió a Nolin como profesora en la Universidad de la ciudad de Hong Kong. (También se casaron). En el verano de 2021, encontró algunos artículos de Sun y sus colaboradores que la intrigaron, por lo que cuando se levantaron las restricciones de viaje pandémicas, planeó una visita en diciembre de 2022 al Instituto de Estudios Avanzados en Princeton. , Nueva Jersey, donde Sun pasaba el año.

Resultó una visita provechosa. Mientras Qian describía la ecuación que ella y Nolin habían encontrado, Sun comenzó a pensar que podría ser compatible con su técnica y la de Zhuang de superponer los laberintos en las superficies de gravedad cuántica de Liouville. "Es una especie de coincidencia", dijo Sun. "Un hombre tiene una cerradura, otro tiene una llave".

Zhuang se mostró un poco escéptico. "No tenemos predicciones y ni siquiera sabemos si la fórmula tendrá una buena solución", dijo, describiendo la situación en ese momento. Sun y Zhuang pasaron los siguientes meses utilizando sus técnicas de gravedad cuántica de Liouville (la clave) para desbloquear la elusiva cantidad en la ecuación de Nolin y Qian de años antes: la cerradura.

Después de cuatro meses de trabajo, Sun y Zhuang habían abierto el candado metafórico. Sun envió un correo electrónico a Zhuang, Qian y Nolin, proclamando: "Buenas noticias: fórmula exacta para el exponente de la columna vertebral". Descubrió que la respuesta era una expresión moderadamente complicada de raíces cuadradas y la función seno trigonométrica. Estaba de acuerdo con las estimaciones anteriores, un flujo interminable de dígitos que comenzaba con 0.3566668.

Los cuatro convirtieron su trabajo en un artículo escrito, refinando el argumento hasta que las ideas de Nolin y Qian por un lado, y de Sun y Zhuang por el otro, se combinaron para crear una prueba que Sheffield, quien fue el asesor doctoral de Sun, llamó “una hermosa joya." "La estrategia de prueba es definitivamente sorprendente y muy original, pero cuando la ves, también es algo que se siente algo natural", dijo Holden.

Nolin lamenta su sospecha de 2011 de que el exponente era exactamente 17/48. “Engañábamos al campo durante bastante tiempo. No estoy muy orgulloso de ello”. El exponente de la columna vertebral es sorprendentemente diferente de sus primos policromáticos. No sólo es irracional, sino que también es trascendental, lo que significa que como $latex pi$ y e, no se puede escribir como la solución de una ecuación polinómica simple.

"Las pruebas no explican realmente de dónde viene esta fórmula", dijo. "Se lo hemos estado mostrando a los físicos y tenemos muchas ganas de conocer sus conocimientos".

La naturaleza trascendental del exponente columnar llamó la atención de otros en el campo. Gregory Huber del Chan Zuckerberg Biohub, coautor de un artículo de seguimiento En cuanto al exponente de la columna vertebral, dijo que cree que el resultado es el “primer vistazo a un nuevo continente” en mecánica estadística. Aunque combinar las curvas SLE y la gravedad cuántica de Liouville es extremadamente técnico, la respuesta numérica clara y simple que surgió, escribió, es "sorprendentemente simple y elegante".