Es el juego de campeonato de la Imaginary Math League, donde Atlanta Algebras se enfrentará a Carolina Cross Products. Los dos equipos no se han enfrentado esta temporada, pero a principios de año Atlanta derrotó a los Brooklyn Bisectors por un marcador de 10 a 5, y Brooklyn derrotó a Carolina por un marcador de 7 a 3. ¿Eso nos da alguna idea de quién? ¿Se llevará el título?

Bueno, aquí hay una línea de pensamiento. Si Atlanta venció a Brooklyn, entonces Atlanta es mejor que Brooklyn, y si Brooklyn venció a Carolina, entonces Brooklyn es mejor que Carolina. Entonces, si Atlanta es mejor que Brooklyn y Brooklyn es mejor que Carolina, entonces Atlanta debería ser mejor que Carolina y ganar el campeonato.

Si practicas juegos o deportes competitivos, sabrás que predecir el resultado de un partido nunca es tan sencillo. Pero desde un punto de vista puramente matemático, este argumento tiene cierto atractivo. Utiliza una idea importante en matemáticas conocida como transitividad, una propiedad familiar que nos permite construir cadenas de comparaciones entre relaciones. La transitividad es una de esas propiedades matemáticas que son tan fundamentales que quizás ni siquiera lo notes.

Por ejemplo, la igualdad de números es transitiva. Esto significa que si sabemos que a = b y b = c, podemos concluir que a = c. La relación “mayor que” también es transitiva: para números reales, si a > b y b > c, entonces a > c. Cuando las relaciones son transitivas, podemos compararlas y combinarlas, creando un orden de objetos. Si Anna es más alta que Benji y Benji es más alto que Carl, entonces podemos ordenar los tres por su altura: A, B, C. La transitividad también está detrás de nuestro ingenuo argumento de que si A es mejor que B y B es mejor que C, entonces A es mejor que C.

La transitividad está presente en la igualdad, la congruencia, la semejanza e incluso el paralelismo. Es parte de todas las matemáticas básicas que hacemos, lo que las hace especialmente interesantes desde el punto de vista matemático cuando no está ahí. Cuando los analistas clasifican a los equipos, los economistas estudian las preferencias de los consumidores o los ciudadanos votan por sus candidatos preferidos, la falta de transitividad puede conducir a resultados sorprendentes. Para comprender mejor este tipo de sistemas, los matemáticos han estado estudiando los "dados intransitivos" durante más de 50 años, y un documento reciente de la colaboración matemática en línea conocida como proyecto Polymath ha avanzado en esa comprensión. Para tener una idea de cómo se ve y se siente la intransitividad, formemos una liga propia y juguemos.

En nuestra nueva liga de matemáticas, los jugadores compiten lanzando monedas personalizadas y comparando los resultados. digamos jugador A tiene una moneda con el número 10 en un lado y el número 6 en el otro, y el jugador BLa moneda de tiene los números 8 y 3. Supondremos que las monedas son justas, lo que significa que es igualmente probable que cada lado aparezca cuando se lanzan las monedas, y representaremos los números en las monedas de esta manera.

En un juego, los jugadores lanzan sus monedas y la moneda que muestre el número más alto es la ganadora. ¿Quién ganará cuando? A juega B?

Por supuesto, depende. A veces A ganará, a veces B ganará. Pero no es difícil ver eso A es favorito para ganar contra B. Hay cuatro maneras en que el juego podría desarrollarse, y A gana en tres de ellos.

Entonces en el juego de A B, A tiene un 75% de posibilidades de ganar.

Ahora C viene y desafía B a un juego. CLa moneda de tiene un 5 en una cara y un 4 en la otra. Nuevamente hay cuatro posibilidades.

Aquí B y C cada uno gana dos de los cuatro enfrentamientos, por lo que cada uno ganará el 50% de los juegos. B y C están igualados.

Ahora bien, ¿qué esperarías que sucediera cuando A y C ¿jugar? Bien, A generalmente late By B está igualado con C, por lo que parece razonable esperar que A probablemente será favorecido contra C.

Pero A es más que un favorito. A domina C, ganando el 100% de las veces.

Esto puede parecer sorprendente, pero matemáticamente no es difícil ver por qué sucede. CLos números están en el medio. Bes, entonces C gana en cualquier momento B voltea su número inferior. Pero CLos números de ambos están debajo Aes, entonces C Nunca ganaré ese enfrentamiento. Este ejemplo no viola la idea de transitividad, pero sí muestra que las cosas podrían ser más complicadas que simplemente A > B > C. Un ligero cambio en nuestro juego muestra lo complicado que puede ser.

Nuestros competidores se cansan rápidamente del juego de lanzar monedas de dos caras, ya que es fácil de entender matemáticamente (consulte los ejercicios al final de la columna para obtener más detalles), por lo que la liga decide actualizar a monedas de tres caras. (Uno de los beneficios de jugar en una liga de matemáticas imaginaria es que todo es posible).

Aquí están A y Bmonedas de:

¿Quién es el favorito en un juego entre A y B? Bueno, hay tres resultados para Alanzamiento de moneda y tres para B, lo que lleva a nueve posibles resultados del juego que podemos trazar fácilmente.

Suponiendo nuevamente que todos los resultados son igualmente probables, A latidos B en cinco de los nueve resultados. Esto significa A debería ganar $latex frac{5}{9} aproximadamente$ 55% de las veces, por lo que A es favorecido contra B.

Sintiéndose un poco deprimido por sus perspectivas, B retos C a un juego. CLos números de se muestran a continuación. Te gusta B¿Cuáles son las posibilidades?

Nuevamente, hay nueve resultados posibles en un juego de B C, así que podemos simplemente enumerarlos.

Podemos ver eso B se ve bastante bien contra C. En cinco de los nueve resultados posibles, B gana. Entonces B es favorecido contra C.

Pobre C ahora tiene que jugar A. Con A favorecido contra B y B favorecido contra C, ¿qué posibilidades tiene C hay que ganar? Resulta que es bastante bueno.

En cinco de los nueve resultados posibles aquí, C latidos A. Esto significa que C es favorecido contra A, aunque Aes favorecido contra B y B es favorecido contra C.

Este es un ejemplo de un sistema intransitivo. En términos más técnicos, la relación “ser favorecido en contra” en nuestro juego no es transitiva: A es favorecido contra By B es favorecido contra C, pero A no necesariamente está favorecido contra C.

No lo vemos frecuentemente en matemáticas, pero este tipo de comportamiento no sorprendería a los fanáticos de los deportes. Si los Gigantes vencieron a los Águilas y los Águilas vencieron a los Vaqueros, los Vaqueros aún podrían vencer a los Gigantes. Hay muchos factores que contribuyen al resultado de un juego individual. Los equipos pueden mejorar con la práctica o estancarse si no innovan. Los jugadores pueden cambiar de equipo. Detalles como la ubicación del juego (en casa o fuera) o qué tan recientemente han jugado los equipos pueden afectar quién gana y quién pierde.

Pero este sencillo ejemplo muestra que también hay razones puramente matemáticas detrás de este tipo de intransitividad. Y esta consideración puramente matemática tiene algo en común con las limitaciones de la competencia en el mundo real: los enfrentamientos.

Aquí están los números para A, B y C.

Cuando los vemos uno al lado del otro, es más fácil ver por qué ocurre la intransitividad en esta situación. A pesar de B es favorito para ganar contra C, CLos dos números medio-altos (el 7 y el 6) les dan una ventaja sobre A esa B no tiene. A pesar de A es favorecido contra B y B es favorecido contra C, C coincide con A mejor que B hace. Esto es similar a cómo un equipo deportivo desfavorecido puede enfrentarse bien a un oponente superior porque su estilo de juego es difícil de manejar para ese equipo, o porque un jugador o entrenador les da una ventaja contra ese oponente en particular.

El hecho de que los deportes sean intransitivos es parte de lo que los hace divertidos y atractivos. Después de todo, si A latidos B y B latidos C, C no va a perder simplemente debido a la transitividad cuando se enfrenten a A. En competición todo puede pasar. Como han dicho muchos comentaristas después de una sorpresa: "Por eso juegan".

Y por eso jugamos con las matemáticas. Para encontrar lo que es divertido, convincente y sorprendente. Cualquier cosa puede suceder.

Ejercicios

1. Supongamos que dos jugadores juegan al juego de las monedas de dos caras y los cuatro números de las dos monedas son todos diferentes. Básicamente, sólo hay seis escenarios posibles sobre quién gana y con qué frecuencia. ¿Qué son?

2. En el escenario del juego de tres caras descrito anteriormente, encuentra una moneda de tres caras diferente para C para que B todavía es favorecido contra C y C todavía es favorecido contra A.

3. Demuestre que en un juego de monedas de dos caras es imposible tener tres jugadores. A, B, C tal que A es favorecido contra B, B es favorecido contra Cy C es favorecido contra A.