En la película de Disney de 1959 Donald en Mathmagic Tierra, Pato Donald, inspirado en las descripciones del narrador sobre la geometría del billar, golpea enérgicamente la bola blanca, enviándolo rebotando alrededor de la mesa antes de que finalmente golpee las bolas deseadas. Donald pregunta: "¿Qué te parece eso para las matemáticas?"

Debido a que las mesas de billar rectangulares tienen cuatro paredes que se unen en ángulos rectos, las trayectorias de billar como la de Donald son predecibles y bien comprendidas, incluso si son difíciles de llevar a cabo en la práctica. Sin embargo, los investigadores matemáticos todavía no pueden responder preguntas básicas sobre las posibles trayectorias de las bolas de billar en mesas con forma de otros polígonos (formas con lados planos). Incluso los triángulos, los polígonos más simples, todavía encierran misterios.

¿Es siempre posible golpear una pelota para que regrese a su punto de partida viajando en la misma dirección, creando la llamada órbita periódica? Nadie lo sabe. Para otras formas más complicadas, se desconoce si es posible golpear la pelota desde cualquier punto de la mesa a cualquier otro punto de la mesa.

Aunque estas preguntas parecen encajar perfectamente dentro de los límites de la geometría tal como se enseña en la escuela secundaria, los intentos de resolverlas han requerido que algunos de los matemáticos más destacados del mundo aporten ideas de campos dispares, incluidos los sistemas dinámicos, la topología y la geometría diferencial. Como ocurre con cualquier gran problema matemático, el trabajo sobre estos problemas ha creado nuevas matemáticas y ha retroalimentado y avanzado el conocimiento en esos otros campos. Sin embargo, a pesar de todo este esfuerzo y de los conocimientos que las computadoras modernas han aportado, estos problemas aparentemente sencillos se resisten obstinadamente a resolverse.

Esto es lo que los matemáticos han aprendido sobre el billar desde el épico tiro enredado del Pato Donald.

Por lo general, asumen que su bola de billar es un punto infinitamente pequeño y sin dimensiones y que rebota en las paredes con perfecta simetría, partiendo en el mismo ángulo en el que llega, como se ve a continuación.

Sin fricción, la bola viaja indefinidamente a menos que llegue a una esquina, lo que la detiene como si fuera una tronera. La razón por la que el billar es tan difícil de analizar matemáticamente es que dos tiros casi idénticos que caen a cada lado de una esquina pueden tener trayectorias tremendamente divergentes.

Un método clave para analizar el billar poligonal es no pensar que la bola rebota en el borde de la mesa, sino imaginar que cada vez que la bola golpea una pared, sigue viajando hacia una copia nueva de la mesa que se voltea. borde, produciendo una imagen especular. Este proceso (que se ve a continuación), llamado desarrollo de la trayectoria del billar, permite que la bola continúe en una trayectoria recta. Al plegar las mesas imaginadas sobre sus vecinas, se puede recuperar la trayectoria real de la pelota. Este truco matemático permite demostrar cosas sobre la trayectoria que de otro modo serían difíciles de ver.

Por ejemplo, se puede utilizar para mostrar por qué las tablas rectangulares simples tienen infinitas trayectorias periódicas a través de cada punto. Un argumento similar es válido para cualquier rectángulo, pero para ser más concretos, imaginemos una mesa que tiene el doble de ancho que de largo.

Supongamos que quieres encontrar una órbita periódica que cruce la mesa. n veces en la dirección larga y m veces en la dirección corta. Dado que cada imagen especular del rectángulo corresponde a la pelota que rebota en una pared, para que la pelota regrese a su punto de partida viajando en la misma dirección, su trayectoria debe cruzar la mesa un número par de veces en ambas direcciones. Entonces m y n debe ser parejo. Diseñe una cuadrícula de rectángulos idénticos, cada uno visto como una imagen especular de sus vecinos. Dibujar un segmento de línea desde un punto en la tabla original hasta el punto idéntico en una copia n mesas de distancia en la dirección larga y m mesas de distancia en la dirección corta. Ajuste ligeramente el punto original si el camino pasa por una esquina. He aquí un ejemplo donde n = 2 y m = 6. Cuando se pliega hacia arriba, el camino produce una trayectoria periódica, como se muestra en el rectángulo verde.

Una desigualdad triangular

El billar en triángulos, que no tiene la bonita geometría rectangular de los rectángulos, es más complicado. Como recordarás de la geometría de la escuela secundaria, hay varios tipos de triángulos: triángulos agudos, donde los tres ángulos internos miden menos de 90 grados; triángulos rectángulos, que tienen un ángulo de 90 grados; y triángulos obtusos, que tienen un ángulo de más de 90 grados.

Las mesas de billar con forma de triángulos agudos y rectángulos tienen trayectorias periódicas. Pero nadie sabe si ocurre lo mismo con los triángulos obtusos.

Para encontrar una trayectoria periódica en un triángulo agudo, dibuja una línea perpendicular desde cada vértice hacia el lado opuesto, como se ve a la izquierda, abajo. Une los puntos donde ocurren los ángulos rectos para formar un triángulo, como se ve a la derecha.

Este triángulo inscrito es una trayectoria periódica de billar llamada órbita de Fagnano, llamada así en honor a Giovanni Fagnano, quien en 1775 demostró que este triángulo tiene el perímetro más pequeño de todos los triángulos inscritos.

A principios de la década de 1990, Fred Holt de la Universidad de Washington y Gregorio Galperin y sus colaboradores en la Universidad Estatal de Moscú independientemente mostró que todo triángulo rectángulo tiene órbitas periódicas. Una forma sencilla de mostrar esto es reflejar el triángulo alrededor de un cateto y luego del otro, como se muestra a continuación.

Comience con una trayectoria que forme un ángulo recto con la hipotenusa (el lado largo del triángulo). La hipotenusa y su segunda reflexión son paralelas, por lo que un segmento de línea perpendicular que las une corresponde a una trayectoria que rebotará hacia adelante y hacia atrás para siempre: la pelota sale de la hipotenusa en ángulo recto, rebota en ambas piernas, regresa a la hipotenusa en un ángulo recto. ángulo, y luego vuelve sobre su ruta.

Pero los triángulos obtusos siguen siendo un misterio. En su artículo de 1992, Galperin y sus colaboradores idearon una variedad de métodos para reflejar triángulos obtusos de una manera que permite crear órbitas periódicas, pero los métodos sólo funcionaron en algunos casos especiales. Luego, en 2008, Richard Schwartz en la Universidad de Brown demostró que todos los triángulos obtusos con ángulos de 100 grados o menos contienen una trayectoria periódica. Su enfoque implicó dividir el problema en múltiples casos y verificar cada caso utilizando matemáticas tradicionales y asistencia informática. En 2018, Jacob Garber, Boyan Marinov, kenneth moore y George Tokarsky en la Universidad de Alberta ampliado este umbral a 112.3 grados. (Tokarsky y Marinov había pasado más de una década persiguiendo este objetivo.)

Un giro topológico

Se ha utilizado otro enfoque para demostrar que si todos los ángulos son racionales (es decir, pueden expresarse como fracciones), los triángulos obtusos con ángulos aún mayores deben tener trayectorias periódicas. En lugar de simplemente copiar un polígono en un plano, este enfoque mapea copias de polígonos en superficies topológicas, donas con uno o más agujeros.

Si reflejas un rectángulo sobre su lado corto y luego reflejas ambos rectángulos sobre su lado más largo, formando cuatro versiones del rectángulo original, y luego pegas la parte superior e inferior y la izquierda y la derecha juntas, habrás hecho un donut. o toroide, como se muestra a continuación. Las trayectorias del billar sobre la mesa corresponden a las trayectorias sobre el toroide y viceversa.

En un artículo histórico de 1986, Howard Masur Usó esta técnica para demostrar que todas las tablas poligonales con ángulos racionales tienen órbitas periódicas. Su enfoque funcionó no sólo para triángulos obtusos, sino también para formas mucho más complicadas: tablas irregulares de 100 lados, por ejemplo, o polígonos cuyas paredes zigzaguean creando rincones y grietas, tienen órbitas periódicas, siempre que los ángulos sean racionales.

De manera algo sorprendente, la existencia de una órbita periódica en un polígono implica la existencia de una infinidad de ellas; cambiar la trayectoria sólo un poquito producirá una familia de trayectorias periódicas relacionadas.

El problema de la iluminación

Las formas con rincones y recovecos dan lugar a una pregunta relacionada. En lugar de preguntar acerca de las trayectorias que regresan a su punto de partida, este problema pregunta si las trayectorias pueden visitar todos los puntos de una tabla determinada. A esto se le llama problema de iluminación porque podemos pensar en él imaginando un rayo láser reflejándose en las paredes de espejos que rodean la mesa de billar. Preguntamos si, dados dos puntos en una mesa en particular, siempre se puede hacer brillar un láser (idealizado como un rayo de luz infinitamente delgado) de un punto al otro. Para decirlo de otra manera, si colocáramos una bombilla, que brilla en todas direcciones a la vez, en algún punto de la mesa, ¿iluminaría toda la habitación?

Ha habido dos líneas principales de investigación sobre el problema: encontrar formas que no puedan iluminarse y demostrar que grandes clases de formas sí pueden iluminarse. Mientras que encontrar formas extrañas que no se pueden iluminar se puede lograr mediante una aplicación inteligente de matemáticas simples, demostrar que muchas formas se pueden iluminar solo ha sido posible mediante el uso de maquinaria matemática pesada.

En 1958, Roger Penrose, un matemático que ganó el 2020 Premio Nobel de Física, encontró una tabla curva en la que cualquier punto en una región no podía iluminar ningún punto en otra región. Durante décadas, nadie pudo encontrar un polígono que tuviera la misma propiedad. Pero en 1995, Tokarsky utilizó un hecho simple sobre los triángulos para crear un polígono en bloque de 26 lados con dos puntos que son mutuamente inaccesibles, como se muestra a continuación. Es decir, un rayo láser disparado desde un punto, independientemente de su dirección, no puede alcanzar el otro punto.

La idea clave que utilizó Tokarsky al construir su mesa especial fue que si un rayo láser comienza en uno de los ángulos agudos de un triángulo de 45°-45°-90°, nunca podrá regresar a esa esquina.

Su mesa dentada está formada por 29 de esos triángulos, dispuestos para hacer un uso inteligente de este hecho. En 2019 Amit Wolecki, entonces estudiante de posgrado en la Universidad de Tel Aviv, aplicó esta misma técnica a producir una forma con 22 lados (que se muestra a continuación), que demostró que era el menor número posible de lados para una forma que tenía dos puntos interiores que no se iluminan entre sí.

Demostrar resultados en la otra dirección ha sido mucho más difícil. En 2014, Maryam Mirzakhani, matemática de la Universidad de Stanford, se convirtió en la primera mujer en ganar la medalla Fields, el premio más prestigioso de matemáticas, por su trabajo sobre los espacios de módulos de las superficies de Riemann, una especie de generalización de los anillos que Masur utilizó para demostrar que todas las tablas poligonales con ángulos racionales tienen órbitas periódicas. En 2016, Samuel Lelièvre de la Universidad Paris-Saclay, Thierry Monteil del Centro Nacional Francés de Investigación Científica y Barak Weiss de la Universidad de Tel Aviv aplicó varios resultados de Mirzakhani para mostrar que cualquier punto en un polígono racional ilumina todos los puntos excepto un número finito. Puede haber puntos oscuros aislados (como en los ejemplos de Tokarsky y Wolecki), pero no regiones oscuras como las que hay en el ejemplo de Penrose, que tiene paredes curvas en lugar de rectas. En Artículo de Wolecki de 2019, reforzó este resultado demostrando que sólo hay un número finito de pares de puntos no iluminables.

Tristemente, las Mirzakhani murió en 2017 a los 40 años, después de una lucha contra el cáncer. Su trabajo parecía muy alejado de los trucos en los salones de billar. Y, sin embargo, el análisis de las trayectorias del billar muestra cómo incluso las matemáticas más abstractas pueden conectarse con el mundo en el que vivimos.