La repetición no siempre tiene por qué ser monótona. En matemáticas, es una fuerza poderosa, capaz de generar una complejidad desconcertante.

Incluso después de décadas de estudio, los matemáticos se encuentran incapaces de responder preguntas sobre la ejecución repetida de reglas muy simples: los “sistemas dinámicos” más básicos. Pero al intentar hacerlo, han descubierto conexiones profundas entre esas reglas y otras áreas aparentemente distantes de las matemáticas.

Por ejemplo, el conjunto de Mandelbrot, que escribió sobre el mes pasado, es un mapa de cómo una familia de funciones, descrita por la ecuación f(x) = x² + c — se comporta como el valor de c se extiende sobre el llamado plano complejo. (A diferencia de los números reales, que se pueden colocar en una línea, los números complejos tienen dos componentes, que se pueden representar gráficamente en la línea). x- y y-ejes de un plano bidimensional.)

No importa cuánto nos acerquemos al conjunto de Mandelbrot, siempre surgen patrones novedosos, sin límite. "Me resulta completamente alucinante, incluso ahora, que esta estructura tan compleja surja de reglas tan simples", dijo panadero mateo del Instituto de Tecnología de Georgia. "Es uno de los descubrimientos realmente sorprendentes del siglo XX".

La complejidad del conjunto de Mandelbrot surge en parte porque se define en términos de números que son, bueno, complejos en sí mismos. Pero, sorprendentemente, esa no es toda la historia. Incluso cuando c es un número real sencillo como, digamos, –3/2, pueden ocurrir todo tipo de fenómenos extraños. Nadie sabe qué sucede cuando aplicas repetidamente la ecuación. f(x) = x² – 3/2, utilizando cada salida como la siguiente entrada en un proceso conocido como iteración. Si comienzas a iterar desde x = 0 (el “punto crítico” de una ecuación cuadrática), no está claro si se producirá una secuencia que eventualmente converge hacia un ciclo repetitivo de valores, o una que continúa rebotando sin cesar en un patrón caótico.

Para valores de c menor que –2 o mayor que 1/4, la iteración rápidamente explota hasta el infinito. Pero dentro de ese intervalo, hay infinitos valores de c Se sabe que produce un comportamiento caótico, e infinitos casos como –3/2, donde “no sabemos qué sucede, aunque es súper concreto”, dijo Giulio Tiozzo de la Universidad de Toronto.

Pero en la década de 1990, el matemático de la Universidad Stony Brook Misha Lyubich, que ocupó un lugar destacado en mi informe sobre el conjunto de Mandelbrot, demostrado que en el intervalo entre –2 y 1/4, la gran mayoría de los valores de c producir un agradable comportamiento “hiperbólico”. (Los matemáticos Jacek Graczyk y Grzegorz Swiatek demostrado de forma independiente el resultado aproximadamente al mismo tiempo.) Esto significa que las ecuaciones correspondientes, cuando se repiten, convergen a un valor único o a un ciclo repetido de números.

Una década más tarde, un trío de matemáticos demostró que la mayoría de los valores de c son hiperbólicos no sólo para ecuaciones cuadráticas, sino también para cualquier familia de polinomios reales (funciones más generales que combinan variables elevadas a potencias, como x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). Y ahora uno de ellos, Sebastián van Strien del Imperial College de Londres, cree tener una prueba de esta propiedad para una clase aún más amplia de ecuaciones llamadas funciones analíticas reales, que incluyen funciones seno, coseno y exponenciales. Van Strien espera anunciar el resultado en mayo. Si se mantiene después de la revisión por pares, marcará un avance importante en la caracterización de cómo se comportan los sistemas unidimensionales reales.

Intersecciones improbables y bagels de entropía

Hay infinitas ecuaciones cuadráticas reales que, cuando se repiten desde cero, terminan produciendo un ciclo repetitivo de números. Pero si restringes c Para los valores racionales (aquellos que se pueden escribir como fracciones), sólo tres valores eventualmente generan secuencias periódicas: 0, –1 y –2. "Estos sistemas dinámicos son muy, muy especiales", dijo Clayton Petsche de la Universidad Estatal de Oregón.

In un papel publicado el año pasado, Petsche y Chatchai Noytaptim de la Universidad de Waterloo demostró que son incluso más especiales de lo que parecen a primera vista. Los matemáticos observaron los números “totalmente reales”, que son más restrictivos que los números reales pero menos restrictivos que los racionales.

Si introduces un número en un polinomio y obtienes un resultado de cero, ese número es una solución o raíz del polinomio. Por ejemplo, 2 es una raíz de f(x) = x² - 4, f(x) = x³ 10 Mayox² + 31x – 30, e infinitas otras ecuaciones. Estos polinomios pueden tener raíces reales o raíces complejas. (Por ejemplo, las raíces de x² + 1 es la raíz cuadrada de –1, escrita como iyi - ambos números complejos.)

Un número es totalmente real si satisface una ecuación polinómica con coeficientes enteros que sólo tiene raíces reales. Todos los números racionales son totalmente reales, pero también lo son algunos números irracionales. Por ejemplo, $latex sqrt{2}$ es totalmente real, porque es una solución para f(x) = x² – 2, que sólo tiene raíces reales ($latex sqrt{2}$ y su raíz “hermana” $latex -sqrt{2}$). Pero la raíz cúbica de 2, $latex sqrt[3]{2}$, no es totalmente real. Es una solución a f(x) = x³ – 2, que tiene dos raíces hermanas adicionales, también conocidas como conjugadas de Galois, que son complejas.

Petsche y Noytaptim demostraron que no existen números irracionales totalmente reales que eventualmente produzcan ciclos periódicos. Más bien, 0, –1 y –2 son los únicos números totalmente reales que hacen esto. Representan una intersección improbable entre propiedades de dos mundos aparentemente diferentes: la teoría de números (el estudio de los números enteros) y los sistemas dinámicos. Petsche y Noytaptim utilizaron resultados importantes de la teoría de números en su demostración, destacando la conexión entre los dos campos.

los matematicos Xavier Buff y sarah koch encontrado otra intersección improbable. Demostraron que sólo cuatro valores totalmente reales de c - 1/4, –3/4, –5/4 y –7/4: generan secuencias de un tipo particular y bien entendido llamado ciclo parabólico.

Los conjugados de Galois también allanaron el camino para el descubrimiento de un objeto misterioso denominado "rosquilla de entropía", un anillo fractal brillante en el plano complejo. La entropía es una medida de aleatoriedad; en este contexto, mide qué tan difícil es predecir la secuencia de números generada al iterar x² + c. En la último artículo que escribió Antes de morir en 2012, el renombrado topólogo William Thurston graficó el conjunto de valores de entropía correspondientes a casi mil millones de valores reales diferentes de c - junto con los conjugados de Galois de esos valores de entropía, que pueden ser complejos. La noción de entropía "está justo en la línea real, pero de alguna manera todavía se puede ver esta sombra del mundo complejo", dijo Tiozzo.

"Se ve que esto se está organizando en esta increíble estructura fractal de encaje", dijo Koch. "Es tan bueno." El bagel de entropía es sólo un patrón muy complicado que surge de la iteración de ecuaciones cuadráticas reales. "Todavía estamos aprendiendo todas estas afirmaciones mágicas (pequeñas joyas) sobre polinomios cuadráticos reales", añadió. "Siempre puedes regresar y sorprenderte con algo que creías conocer muy bien".