En octubre, está previsto el lanzamiento de un cohete Falcon Heavy desde Cabo Cañaveral, en Florida, que transportará la misión Europa Clipper de la NASA. La misión de 5 mil millones de dólares está diseñada para descubrir si Europa, la cuarta luna más grande de Júpiter, puede albergar vida. Pero debido a que Europa es bombardeada constantemente por una intensa radiación creada por el campo magnético de Júpiter, la nave espacial Clipper no puede orbitar la luna misma. En cambio, se deslizará hacia una órbita excéntrica alrededor de Júpiter y recopilará datos pasando repetidamente por Europa (53 veces en total) antes de retirarse de lo peor de la radiación. Cada vez que la nave espacial orbite Júpiter, su trayectoria será ligeramente diferente, lo que garantizará que pueda tomar fotografías y recopilar datos desde los polos de Europa hasta su ecuador.

Para planificar recorridos complicados como este, los planificadores de trayectorias utilizan modelos informáticos que calculan meticulosamente la trayectoria paso a paso. La planificación tiene en cuenta cientos de requisitos de la misión y está respaldada por décadas de investigación matemática sobre las órbitas y cómo unirlas en recorridos complicados. Los matemáticos ahora están desarrollando herramientas que esperan puedan usarse para crear una comprensión más sistemática de cómo se relacionan las órbitas entre sí.

“Lo que tenemos son los cálculos anteriores que hemos hecho, que nos guían mientras hacemos los cálculos actuales. Pero no es una imagen completa de todas las opciones que tenemos”, dijo Daniel Scheeres, ingeniero aeroespacial de la Universidad de Colorado, Boulder.

"Creo que esa fue mi mayor frustración cuando era estudiante", dijo Dayung Koh, ingeniero del Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA. "Sé que estas órbitas están ahí, pero no sé por qué". Dado el costo y la complejidad de las misiones a las lunas de Júpiter y Saturno, no saber por qué las órbitas están donde están es un problema. ¿Qué pasaría si existiera una órbita completamente diferente que pudiera realizar el trabajo con menos recursos? Como dijo Koh: “¿Los encontré a todos? ¿Hay más? No puedo decir eso”.

Después de obtener su doctorado en la Universidad del Sur de California en 2016, Koh se interesó en cómo se pueden catalogar las órbitas en familias. Las órbitas jovianas que están lejos de Europa forman una familia de este tipo; también lo hacen las órbitas cercanas a Europa. Pero otras familias son menos obvias. Por ejemplo, para dos cuerpos cualesquiera, como Júpiter y Europa, hay un punto intermedio donde los efectos gravitacionales de los dos cuerpos se equilibran para crear puntos estables. Las naves espaciales pueden orbitar este punto, aunque no haya nada en el centro de la órbita. Estas órbitas forman una familia llamada órbitas de Lyapunov. Agregue un poco de energía a esa órbita encendiendo el motor de una nave espacial y al principio permanecerá en la misma familia. Pero agregue lo suficiente y pasará a otra familia, digamos, una que incluya a Júpiter dentro de sus órbitas. Algunas familias de órbitas pueden requerir menos combustible que otras, permanecer expuestas a la luz del sol en todo momento o tener otras características útiles.

En 2021, Koh encontró un artículo que analizaba cómo lidiar con órbitas caóticas desde la perspectiva de la geometría simpléctica, un campo abstracto de las matemáticas que generalmente está muy alejado de los confusos detalles del mundo real. Empezó a sospechar que la geometría simpléctica podría tener las herramientas que necesitaba para comprender mejor las órbitas y se puso en contacto con Agustín Moreno, el autor del artículo. Moreno, entonces becario postdoctoral en la Universidad de Uppsala en Suecia, se sorprendió y alegró al saber que alguien en la NASA estaba interesado en su trabajo. "Fue inesperado, pero también bastante interesante y motivador al mismo tiempo", dijo.

Los dos comenzaron a trabajar juntos, buscando aplicar las técnicas abstractas de Moreno al sistema Júpiter-Europa y a Saturno y su luna Encelado, que, como Europa, podría tener vida en su océano subterráneo. El año pasado, junto con otros colaboradores, escribieron una serie de artículos que crear un marco para catalogación de órbitas. En enero, Moreno, ahora profesor de la Universidad de Heidelberg, completó un primer borrador que convirtió su estudio en un libro sobre el tema. Con el libro, quiere hacer que el campo abstracto de la geometría simpléctica sea útil para los ingenieros que intentan planificar misiones espaciales. Si lo logra, reunirá campos de investigación que se han ido distanciando a lo largo de los siglos.

No hay un camino real hacia la geometría

La geometría simpléctica tiene sus raíces en la física. Por poner un ejemplo sencillo, imaginemos un péndulo. Su movimiento se puede describir mediante dos parámetros: ángulo y velocidad. Si la velocidad es lo suficientemente baja, el péndulo oscilará hacia adelante y hacia atrás. Si la velocidad es mayor, girará en círculos. En un péndulo idealizado sin fricción, una vez elegido un ángulo inicial y una velocidad, el comportamiento del sistema queda determinado para siempre.

Puedes crear una gráfica con el ángulo como x-eje y la velocidad como y-eje. Pero como viajar 360 grados te lleva de vuelta al principio, puedes coser las líneas verticales donde x es cero grados y donde x es de 360 ​​grados. Esto forma un cilindro. El cilindro no refleja directamente la realidad física (no muestra los caminos que traza el péndulo), sino que cada punto representa un estado particular del péndulo. El cilindro, junto con las leyes que determinan los caminos que puede seguir el péndulo, forma un espacio simpléctico.

Desde principios del siglo XVII, cuando Johannes Kepler formuló sus leyes, físicos y matemáticos sabían perfectamente cómo describir el movimiento de dos cuerpos sujetos a la gravedad. Dependiendo de qué tan rápido se muevan, sus trayectorias forman una elipse, una parábola o una hipérbola. Los espacios simplécticos correspondientes son más complicados que el de un péndulo, pero aún así manejables. Pero la introducción de un tercer objeto hace que sea imposible calcular soluciones analíticas exactas. Y sólo se vuelve más complicado si agregas más cuerpos al modelo. "Sin esa visión analítica, casi siempre, en algún nivel, estás disparando hacia la oscuridad", dijo Scheeres.

Una nave espacial que puede moverse libremente en cualquier dirección (de derecha a izquierda, de arriba a abajo y de adelante hacia atrás) necesita tres coordenadas para describir su posición y tres más para describir su velocidad. Eso crea un espacio simplético de seis dimensiones. Para describir el movimiento de tres cuerpos, como Júpiter, Europa y una nave espacial, se necesitan 18 dimensiones: seis por cuerpo. La geometría del espacio se define no sólo por la cantidad de dimensiones que tiene, sino también por las curvas que muestran cómo evoluciona en el tiempo el sistema físico que se describe.

Moreno y Koh trabajaron en una versión “restringida” del problema de los tres cuerpos, donde uno de los cuerpos (la nave espacial) es tan pequeño que no tiene impacto sobre los otros dos (Júpiter y Europa). Para simplificar aún más las cosas, los investigadores asumieron que la órbita de la luna era perfectamente circular. Puede tomar su órbita circular como un fondo estable contra el cual considerar la trayectoria de la sonda espacial. El espacio simpléctico sólo tiene que tener en cuenta la posición y la velocidad de la nave espacial, ya que el movimiento de Júpiter y Europa se puede describir fácilmente. Entonces, en lugar de tener 18 dimensiones, el espacio simplético correspondiente es de seis dimensiones. Cuando una trayectoria en este espacio de seis dimensiones forma un bucle, representa una órbita periódica de la nave espacial a través del sistema planeta-luna.

Cuando Koh se puso en contacto con Moreno, sentía curiosidad por los casos en los que añadir sólo una pequeña cantidad de energía hace que la órbita de una nave espacial salte de una familia a otra. Estos puntos de encuentro entre familias de órbitas se denominan puntos de bifurcación. A menudo muchas familias se reúnen en un mismo punto. Esto los hace particularmente útiles para los planificadores de trayectorias. "Comprender la estructura de bifurcación te da una hoja de ruta sobre dónde hay trayectorias interesantes que deberías observar", dijo Scheeres. Koh quería saber cómo identificar y predecir puntos de bifurcación.

Después de escuchar a Koh, Moreno reclutó a algunos otros geómetras: Urs Frauenfelder de la Universidad de Augsburgo, Cengiz Aydin de la Universidad de Heidelberg y Otto van Koert de la Universidad Nacional de Seúl. Frauenfelder y van Koert habían estudiado durante mucho tiempo el problema de los tres cuerpos utilizando geometría simpléctica, incluso descubriendo una potencial nueva familia de órbitas. Pero aunque los ingenieros que planifican misiones de naves espaciales han utilizado innumerables herramientas matemáticas, en las últimas décadas se han sentido intimidados por la creciente abstracción de la geometría simpléctica.

A lo largo de los meses siguientes, el ingeniero y los cuatro matemáticos aprendieron poco a poco sobre los campos de cada uno. “Cuando se hace un trabajo interdisciplinario, se necesita un tiempo para, digamos, superar las barreras del idioma”, dijo Moreno. "Pero una vez que has hecho el trabajo paciente, empieza a dar sus frutos".

El kit de herramientas

El equipo reunió una serie de herramientas que esperan sean útiles para los planificadores de misiones. Una de las herramientas es un número llamado índice de Conley-Zehnder que puede ayudar a determinar cuándo dos órbitas pertenecen a la misma familia. Para calcularlo, los investigadores examinan puntos que están cerca de la órbita que quieren estudiar, pero no en ella. Imaginemos, por ejemplo, que una nave espacial sigue una órbita elíptica alrededor de Júpiter, influenciada por la gravedad de Europa. Si lo apartas de su trayectoria, su nueva trayectoria imitará la órbita original, pero sólo de manera tosca. La nueva trayectoria girará en espiral alrededor de la órbita original y regresará a un punto ligeramente diferente después de rodear a Júpiter. El índice de Conley-Zehnder es una medida de cuánto se produce la espiral.

Sorprendentemente, el índice de Conley-Zehnder no depende de los detalles específicos de cómo se empuja la nave espacial: es un número asociado con toda la órbita. Es más, es igual para todas las órbitas de la misma familia. Si calcula el índice de Conley-Zehnder para dos órbitas y obtiene dos números diferentes, puede estar seguro de que las órbitas pertenecen a familias diferentes.

Otra herramienta, llamada número de Floer, puede dar pistas sobre familias de órbitas no descubiertas. Supongamos que varias familias chocan en un punto de bifurcación cuando la energía alcanza un número particular, y varias familias más se ramifican desde ese punto de bifurcación cuando la energía es mayor. Esto forma una red de familias cuyo eje central es la bifurcación.

Puede calcular el número de Floer asociado con este punto de bifurcación como una función simple de los índices de Conley-Zehnder asociados con cada familia relevante. Puede calcular esta función tanto para todas las familias que tienen una energía un poco menor que el punto de bifurcación como para familias cuya energía es mayor. Si los dos números de Floer difieren, es una pista de que hay familias ocultas vinculadas a su punto de bifurcación.

"Lo que estamos haciendo es proporcionar herramientas con las que los ingenieros prueban sus algoritmos", dijo Moreno. Las nuevas herramientas están diseñadas principalmente para ayudar a los ingenieros a comprender cómo encajan las familias de órbitas y animarlos a buscar nuevas familias cuando sea necesario; no pretende sustituir las técnicas de búsqueda de trayectorias que se han perfeccionado durante décadas.

En 2023, Moreno presentó el trabajo a una conferencia organizada por el “Comité de Mecánica de Vuelos Espaciales”, y ha estado en contacto con ingenieros que investigan trayectorias espaciales, incluidos algunos del JPL y el laboratorio de Scheeres en Boulder. Scheeres acogió con agrado la mezcla de campos: conocía desde hacía mucho tiempo el enfoque simpléctico del movimiento planetario, pero se sentía fuera de su alcance matemático. "Fue realmente emocionante ver a los matemáticos tratando de trasladar su experiencia al ámbito de la ingeniería", dijo. El grupo de Scheeres está trabajando ahora en un sistema más complejo que involucra cuatro cuerpos.

Ed Belbruno, consultor de planificación de trayectorias (y ex analista orbital del JPL) que ha trabajado con Frauenfelder, advierte que las aplicaciones no son directas. "Aunque una técnica matemática como la geometría simpléctica puede generar trayectorias que son realmente geniales, y se obtienen una gran cantidad de ellas, puede ser que muy, muy pocas, si es que hay alguna, satisfagan la restricción" que una misión real podría necesitar. , él dijo.

Aunque las trayectorias del Clipper ya están establecidas en gran medida, Moreno está mirando hacia el próximo planeta: Saturno. Ya ha presentado su investigación a los planificadores de misiones del JPL que esperan enviar una nave espacial a Encelado, la luna de Saturno. Moreno espera que la geometría simpléctica “se convierta en parte del conjunto de herramientas estándar de las misiones espaciales”.