Los objetos centrales de estudio en topología son espacios llamados variedades, que parecen planos cuando se acercan a ellos. La superficie de una esfera, por ejemplo, es una variedad bidimensional. Los topólogos entienden muy bien estas variedades bidimensionales. Y han desarrollado herramientas que les permiten dar sentido a variedades tridimensionales y a aquellas con cinco o más dimensiones.

Pero en cuatro dimensiones “todo se vuelve un poco loco”, afirmó Sam Hughes, investigador postdoctoral de la Universidad de Oxford. Las herramientas dejan de funcionar; Surge un comportamiento exótico. Como Tom Mrowka del Instituto Tecnológico de Massachusetts explicó: "Hay suficiente espacio para que se produzcan fenómenos interesantes, pero no tanto como para que se desmoronen".

A principios de los años 1990, Mrowka y Pedro Kronheimer de la Universidad de Harvard estaban estudiando cómo se pueden incrustar superficies bidimensionales dentro de variedades de cuatro dimensiones. Desarrollaron nuevas técnicas para caracterizar estas superficies, lo que les permitió obtener información crucial sobre la estructura de otro modo inaccesible de las variedades de cuatro dimensiones. Sus hallazgos sugirieron que los miembros de una amplia clase de superficies cortan su variedad principal de una manera relativamente simple, dejando una propiedad fundamental sin cambios. Pero nadie pudo demostrar que esto fuera siempre cierto.

En febrero, junto con Daniel Ruberman de la Universidad Brandeis, Hughes construyó una secuencia de contraejemplos – Superficies bidimensionales “locas” que diseccionan sus variedades originales de maneras que los matemáticos habían creído imposibles. Los contraejemplos muestran que las variedades de cuatro dimensiones son aún más notablemente diversas de lo que los matemáticos de décadas anteriores habían pensado. "Es realmente un artículo hermoso", dijo Mrowka. “Sigo mirándolo. Hay muchas cositas deliciosas allí”.

Haciendo una lista

A finales del año pasado, Ruberman ayudó a organizar una conferencia que creó una nueva lista de los problemas abiertos más importantes en topología de baja dimensión. Al prepararse para ello, examinó una lista anterior de importantes problemas topológicos no resueltos de 1997. Incluía una pregunta que Kronheimer había planteado basándose en su trabajo con Mrowka. “Estaba ahí y creo que quedó un poco olvidado”, dijo Ruberman. Ahora pensó que podía responderla.

Para comprender la pregunta, es útil considerar primero dos ideas clave: variedades simplemente conexas y el grupo fundamental.

Los colectores simplemente conectados son espacios sin agujeros que los atraviesen. En una dimensión, una línea infinita simplemente está conectada, pero un círculo no. En dos dimensiones, un plano infinito y la superficie de una esfera simplemente están conectadas, pero la superficie de un donut no.

Los matemáticos hacen rigurosa esta distinción al colocar bucles en una variedad y considerar cómo se pueden deformar. Si cualquier bucle se puede reducir a un punto, entonces simplemente se conecta una variedad. En un plano o en la superficie de una esfera, por ejemplo, esto es posible; piense en tensar una cuerda. Pero si esa cuerda gira alrededor de un círculo, no puede encogerse. De manera similar, en la superficie de un donut, los bucles que rodean o atraviesan el orificio central no se pueden deformar en un solo punto. El propio donut se interpone en el camino.

Los matemáticos clasifican los espacios que no están simplemente conectados calculando su “grupo fundamental”, un objeto cuya estructura refleja cómo se reducen los bucles. Las variedades que están simplemente conectadas tienen un grupo fundamental "trivial" con un solo elemento. Pero las variedades con agujeros tienen grupos fundamentales más complicados.

Las variedades de cuatro dimensiones que están simplemente conectadas pueden seguir siendo bastante extrañas. Para comprenderlos, los matemáticos se preguntan qué les puede pasar a las superficies bidimensionales incrustadas en ellos.

Por analogía, piense en colocar un lazo de cuerda sobre una hoja de papel. No hay mucho que puedas hacer con él. Pero levántelo hasta un espacio tridimensional y podrá atarlo formando nudos complicados. Las formas en que se puede manipular la cuerda (una variedad unidimensional) aclaran la naturaleza del espacio en el que está incrustada.

De manera similar, en el mundo más complicado de las cuatro dimensiones, las superficies bidimensionales son "una especie de clave para todo el negocio, de muchas maneras diferentes", dijo Ruberman. "Las superficies te dicen mucho más sobre una variedad de cuatro dimensiones de lo que puedes esperar". Las superficies le permiten distinguir entre variedades: si una superficie puede vivir dentro de una variedad pero no de otra, sabrá que las variedades son diferentes. Y las superficies se pueden utilizar para construir colectores nuevos a partir de los viejos.

Las superficies también tienen grupos fundamentales correspondientes. Y también lo hacen sus complementos: la parte de una variedad que queda cuando se quita la superficie. Elimina el ecuador de variedades bidimensionales como la superficie de una esfera o un donut, por ejemplo, y obtendrás dos hemisferios desconectados. Pero la superficie del donut permanece en una sola pieza si quitas un anillo vertical en lugar de uno horizontal. De manera similar, dependiendo de cómo se corte una superficie a partir de una variedad de cuatro dimensiones, se pueden obtener diferentes tipos de complementos.

En la década de 1990, Mrowka y Kronheimer investigaron qué sucede cuando se extrae una superficie bidimensional de una variedad de cuatro dimensiones. Si la variedad en sí es simplemente conexa, ¿qué condiciones deben cumplir las superficies para garantizar que sus complementos también deban estar simplemente conexos?

Kronheimer y Mrowka sabían que algunos tipos de superficies podían tener complementos que no estaban simplemente conectados. Pero su trabajo parecía indicar que otra amplia clase de superficies siempre debían tener complementos simplemente conectados.

Durante casi tres décadas, nadie pudo encontrar un ejemplo de una superficie en esa clase cuyo complemento no estuviera simplemente conexo. Pero en el otoño de 2023, después de encontrarse con el problema, Ruberman pensó que podía hacerlo. En lugar de comenzar con una variedad de cuatro dimensiones y recortar una superficie, comenzó con una superficie bidimensional que tenía las propiedades necesarias y construyó una variedad a su alrededor.

Primero, engordó la superficie hasta convertirla en una masa de cuatro dimensiones. Esta masa de cuatro dimensiones tenía un límite tridimensional, del mismo modo que un objeto tridimensional como una pelota tiene un límite bidimensional. Ruberman quería colocar una variedad de cuatro dimensiones cuidadosamente elegida al otro lado del límite, que serviría como complemento de la superficie. Si la táctica funcionara, entonces esta variedad tendría un grupo fundamental complicado, pero el grupo fundamental de todo en conjunto sería trivial. Por tanto, la variedad cuatridimensional recién construida se conectaría de forma sencilla.

Pero para poder unir todo correctamente, tuvo que demostrar que el grupo fundamental de la nueva incorporación cumplía con todo tipo de propiedades. "No tenía idea de cómo hacer eso", dijo Ruberman.

Luego, en enero, Hughes, un teórico de grupos, dio una charla en Brandeis. Ruberman estaba entre el público. Reconoció que Hughes podría tener la pieza faltante que estaba buscando. Los dos se reunieron al día siguiente y, en unas pocas horas, resolvieron las ideas principales que necesitaban. Lo que a Ruberman le faltaba “es algo que los teóricos de grupos han estado calculando durante 70 u 80 años hasta este momento”, dijo Hughes. "Hemos estado en esto desde siempre". Al final de la semana, tenían una prueba completa.

“Yo sabía algunas cosas y él sabía algunas cosas, y entre nosotros dos sabíamos lo suficiente como para hacerlo”, dijo Ruberman.

Debido a la forma en que se utiliza la teoría de grupos en la prueba, "es un poco inusual", dijo maggie molinero de la Universidad de Texas, Austin. "Está escrito de forma un poco diferente a lo que la mayoría de los topólogos cuatridimensionales se sentirían cómodos".

El resultado es otro ejemplo más de lo complicada que puede llegar a ser la topología de cuatro dimensiones. "Hay incrustaciones de superficies más interesantes de lo que pensábamos", dijo Hughes. Esto hace que sea más difícil clasificar variedades y probar otros tipos de resultados sobre ellas.

Sin embargo, en marzo, İnanç Baykur de la Universidad de Massachusetts, Amherst, quien organizó la conferencia de elaboración de listas del año pasado con Ruberman, anunció la solución a otro problema que involucra variedades de cuatro dimensiones simplemente conectadas de la lista de 1997.

Parece que los topólogos están limpiando la casa.