Durante los últimos dos años, los matemáticos han identificado las mejores versiones de las formas de una sala de juegos infantil. Estos resultados ocupan un rincón peculiar de las matemáticas y, apropiadamente, han sido producidos por colaboraciones improbables, entre las que participan un matemático que practica origami con su esposa y un profesor que enseña a sus estudiantes a jugar con papel.

El trabajo se lleva a cabo dentro del estudio de formas "óptimas", lo que implica comprender qué versión de una forma logra mejor un objetivo dadas algunas limitaciones. Las abejas entienden esto implícitamente: construyen panales con celdas hexagonales porque los hexágonos proporcionan la mayor capacidad de almacenamiento utilizando la menor cantidad de recursos.

Al menos en la tradición, la primera persona que buscó tal forma fue Dido, la reina fundadora de Cartago. Después de desembarcar en lo que hoy es la costa de Túnez, llegó a un acuerdo con el rey bereber, Iarbas. Él accedió a darle toda la tierra que pudiera encerrar en una sola piel de buey. En lugar de dejar la escasa piel plana, como había previsto Iarbas, Dido la cortó en tiras finas, que utilizó para rodear y reclamar una colina entera. La idea de la reina ascendente fue que, dada una cantidad fija de material, la forma óptima para encerrar el área, que definía los límites de la ciudad de Cartago, era el círculo.

“Suelen tener este sabor. Hay una familia de objetos y uno quiere saber cuál maximiza esto o minimiza aquello”, dijo Richard Schwartz de la Universidad de Brown, quien publicó tres resultados sobre formas óptimas en rápida sucesión a partir de agosto pasado, incluido uno con su esposa, Brienne Elisabeth Brown.

Todos los resultados recientes tratan de minimizar la cantidad de papel, cuerda o hilo utilizado para crear una forma particular. La reciente carrera de Schwartz comenzó con la tira de Möbius, que se forma tomando una tira de papel, dándole una vuelta y uniendo los extremos. Tiene la extraña característica de ser una superficie que sólo tiene un lado, lo que significa que puedes trazar toda su superficie sin siquiera levantar el dedo.

Ya en la década de 1930, los matemáticos intentaron encontrar el rectángulo más rechoncho posible que pudiera retorcerse formando una tira de Möbius. Parece intuitivamente claro que es fácil torcer un rectángulo largo y delgado en una tira de un lado, pero que hacerlo con un cuadrado es imposible. ¿Pero dónde está exactamente el límite?

Las formas óptimas surgen cuando intentamos minimizar o maximizar algún valor, como, en este caso, la relación entre el ancho de una tira y su largo. En aspectos matemáticos cruciales, son la versión más extrema de una forma. El estudio de las formas óptimas es un puente entre la geometría, en la que la longitud importa, y la topología, una rama de las matemáticas que se ocupa de objetos idealizados que son infinitamente estirables y comprimibles. En topología, las tiras de Möbius de diferentes tamaños son intercambiables, ya que una tira pequeña puede estirarse hasta convertirse en una grande, una ancha aplastarse hasta convertirse en una delgada, y así sucesivamente. De manera similar, las franjas rectangulares de cualquier tamaño son todas, topológicamente, iguales.

Sin embargo, la operación de torcer una tira y unir los extremos cambia la cosa. Considerar formas óptimas es considerar los límites de la topología. Sí, puedes introducir una tira de Möbius en otra. Pero, ¿cuánto puedes exprimir antes de que sea imposible ir más lejos?

"Una pregunta es cuál es la longitud mínima y la otra es, ¿hay alguna manera de alcanzar esa longitud mínima y cómo se ve?", dijo Elizabeth Denne de Washington y la Universidad Lee.

En total, en los últimos años se han obtenido al menos cinco resultados que han identificado nuevos mejores valores para diferentes formas, incluida la tira de Möbius (con una vuelta), la tira de Möbius de tres vueltas y el nudo simple. Algunos de estos resultados identifican el valor más conocido de una forma; otros van un paso más allá y demuestran que no es posible ofrecer un mejor valor.

La franja de Möbius óptima

Para formalizar qué tan cerca de un cuadrado está un rectángulo, los matemáticos usan un número llamado relación de aspecto. Es simplemente el largo dividido por el ancho. Un cuadrado tiene una relación de aspecto de 1, mientras que un rectángulo largo, delgado y con forma de cinta tiene una relación de aspecto mucho mayor. Esa cinta tiene mucha holgura, lo que permite que los extremos del rectángulo se tuerzan y se unan entre sí. Pero a medida que la tira se hace más corta y la relación de aspecto se acerca a 1 (un cuadrado), se vuelve más difícil. Llega un momento en el que ya no es posible.

En 1977, dos matemáticos conjeturaron que para ser retorcido en una tira de Möbius, un rectángulo de ancho 1 debe ser más largo que $latex sqrt{3}$, como en la tira de la parte inferior derecha. En agosto de 2023, Schwartz demostró que tenían razón: si se acerca más a un cuadrado, no hay forma de torcer el rectángulo en una tira de Möbius.

Es posible que se sienta tentado a buscar una solución inteligente. Si doblas un cuadrado como un acordeón, creando una fina tira de papel, puedes girarlo hasta formar una tira de Möbius. Pero eso no cuenta, porque los pliegues son nítidos, no lisos. (La suavidad tiene un significado matemático particular que se alinea con el significado simple en inglés).

Una herramienta central para descubrir cómo se ven las formas óptimas se llama "forma limitante". Las formas limitantes son diferentes en aspectos cruciales de las formas que se optimizan, pero también comparten algunas de sus propiedades. Por analogía aproximada, piensa en cómo si estiras un rectángulo para hacerlo más largo y delgado, comienza a parecerse a una línea, o cómo los polígonos con cada vez más lados comienzan a parecerse a un círculo.

En este caso, Schwartz crea una forma límite para la cinta de Möbius. Comience con una hoja de papel plana de una unidad de ancho y $látex sqrt{3}$ unidades de largo. Comience doblándolo siguiendo las instrucciones a continuación. Esto creará pliegues nítidos muy parecidos a los del acordeón, pero en un momento suavizaremos esos pliegues relajando el papel un poco.

Dobla hacia abajo desde la esquina superior izquierda y hacia arriba desde la esquina inferior derecha, creando un diamante. Luego doble a lo largo de la línea media del diamante y pegue con cinta adhesiva los dos bordes, mostrados por líneas de puntos azules y amarillas, que se unen en el interior del diamante. Ahora agregue un poquito de holgura haciendo la tira un poco más larga o un poco más estrecha, para que pueda separar los triángulos. Esta es tu tira de Möbius. Una hormiga infinitamente pequeña que viajara sobre la superficie del triángulo, siguiendo los pliegues, daría la vuelta completa: tiene un solo lado.

Los matemáticos saben desde hace tiempo que un triángulo así es una forma limitante para las tiras de Möbius. Schwartz demostró que no existen otras formas limitantes que permitirían una tira más rechoncha. Para hacer esto, usó la “T” formada por los pliegues del triángulo, como se ve en el triángulo de la derecha arriba.

Schwartz argumentos combinados de la topología y la geometría. Usó la topología para demostrar que en cada tira de papel de Möbius es posible dibujar líneas que se cruzan y que forman una T de una manera particular. Luego, utilizando algo de geometría básica (el teorema de Pitágoras y la desigualdad del triángulo), demostró que si tal T existe (que debe ser), la relación de aspecto de la tira tiene que ser mayor que $latex sqrt {3}$.

El cilindro de papel retorcido óptimo

Después de que Schwartz identificó la tira de Möbius óptima, la gente le preguntó: ¿Qué pasaría con más giros? Cualquier número impar de giros produce una tira de Möbius, porque la forma resultante todavía tiene un solo lado. Por otro lado, un número par de giros produce una estructura de dos lados llamada cilindro torcido (que se muestra abajo a la izquierda). A diferencia de un cilindro ordinario, no tiene un interior y un exterior bien definidos.

Después de su artículo sobre la tira de Möbius, Schwartz demostrado a finales de septiembre que la forma límite del cilindro retorcido se puede hacer doblando un rectángulo de 1 por 2 formado por cuatro triángulos isósceles rectángulos apilados (como se muestra arriba a la derecha). Para comenzar, doble el triángulo B detrás del triángulo A y el triángulo D encima del triángulo C. (Las flechas de línea de puntos indican pliegues hacia atrás y las flechas continuas indican pliegues hacia adelante). Luego doble el triángulo resultante en dos poniendo la mitad inferior. detrás de la mitad superior. Luego, pegue con cinta adhesiva las líneas de puntos azules y amarillas (que originalmente eran la parte superior e inferior del rectángulo). Finalmente, alarga el rectángulo inicial un poco más, de modo que tengas suficiente holgura para levantar la forma plana y convertirla en un cilindro retorcido y aplastado. "La idea básica es construir primero la forma limitante y luego relajarla un poco y redondear los pliegues", escribió Schwartz. "Creo que esto es como hacer algo y luego dejarlo en remojo durante la noche en agua". Como puede ver en la figura (arriba a la derecha), la forma del triángulo apilado es dos veces más largo que ancho, por lo que la relación de aspecto óptima del cilindro retorcido es 2.

La banda de Möbius óptima de tres vueltas

Schwartz centró entonces su atención en la tira de Möbius de tres vueltas. Al igual que la tira de un solo giro, esta es una figura de un solo lado, pero debido a los dos giros adicionales, su límite es más complicado. Schwartz pensó que su forma limitante iba a ser el hexaflexágono, una forma desconcertante popularizada por Martin Gardner en un 1956 columna in Scientific American. Los hexaflexágonos se forman doblando una tira de triángulos equiláteros y pegando los extremos. Un hexaflexágono aplanado parece un hexágono dividido en seis triángulos. Pero se puede “flexionar” juntando los lados adyacentes, como en la imagen. juego infantil MASH. Cuando se abre de nuevo, un conjunto diferente de triángulos mira hacia afuera. "Esto es como si un adivino y una banda de Möbius tuvieran un bebé", dijo Schwartz.

Pero la esposa de Schwartz, Brienne Elisabeth Brown, comenzó a jugar con el papel y reveló que el hexaflexágono era "una especie de pista falsa", dijo Schwartz. Brown encontró una construcción que ella llama "entrecruzado" (que se muestra a continuación) que es una forma limitante de una tira de Möbius de tres vueltas y es tres veces más larga que ancha. Primero doblas a lo largo de la línea diagonal en el medio de la tira, tomando la parte inferior delante de la parte superior. Luego doblas el triángulo derecho superior delante del triángulo de abajo y hacia su izquierda. Ahora tienes la forma que se muestra en el paso 2: un paralelogramo inclinado con un cuadrado que sobresale hacia la derecha. Lleva el cuadrado detrás del paralelogramo y el triángulo en la parte superior frente al cuadrado que ahora está debajo. Esto forma un nuevo cuadrado, como se muestra en el paso 3.

Lo que originalmente eran los bordes superior e inferior (que se muestran con líneas de puntos azules y amarillas) ahora están en el borde izquierdo del cuadrado; péguelos y habrá creado una forma limitante para una tira de Möbius de tres vueltas. Como en el caso de la tira de una vuelta, esta forma plana no es en sí misma una tira de Möbius, pero si se le da un poco más de longitud para que pueda relajarse en tres dimensiones sin curvaturas pronunciadas, formará una tira de tres vueltas.

Brown y Schwartz también encontraron una forma límite completamente diferente para el cilindro de tres vueltas, al que llamaron copa. A diferencia del entrecruzado, no se puede hacer que la copa quede plana. Sin embargo, al igual que el entrecruzado, es tres veces más largo que ancho. en un papel publicado el 16 de octubre, Brown y Schwartz explican por qué creen que la tira óptima de tres vueltas tiene una relación de aspecto de 3. Pero aún no han podido demostrarlo, en parte porque la existencia de la copa, que no puede ser aplanado, significa que los tipos de argumentos que Schwartz presentó en los casos de uno y dos giros no pueden extenderse al caso de tres giros.

Nudos de trébol óptimos

No todas las formas óptimas son variantes de la tira de Möbius. Los matemáticos también reflexionan sobre cuánto material se necesita para hacer diferentes tipos de nudos. En 2020, este y dos de sus estudiantes universitarios, John Carr Haden y Troy Larsen, estaban estudiando nudos que se pueden dibujar en la superficie de un toroide o donut.

El nudo toroidal más simple (de hecho, el nudo no trivial más simple, punto) se llama trébol. Es como el que mucha gente usa en el primer paso de atarse los cordones de los zapatos haciendo un lazo en un trozo de cuerda y tirando de un extremo, si en lugar de luego atar un lazo, simplemente pegaran las puntas de los cordones para formar un nudo simple con los dos extremos sueltos conectados.

La forma habitual de atar el trébol equivale a enrollar un trozo de cuerda alrededor del toroide como se muestra aquí: