Una reciente mañana de octubre, Rob Kirby se paró frente a una sala llena de matemáticos y les dijo que no se sintieran obligados por la forma en que él había hecho las cosas en el pasado.

Durante el último medio siglo Kirby, de 85 años, ha sido una figura central en la topología de baja dimensión, el estudio de formas deformables. Además de importantes contribuciones a la investigación, en 1978 publicó el primera versión de lo que llegó a conocerse como la “lista de Kirby”, una colección de 80 problemas abiertos que ayudaron a establecer la agenda de investigación para este campo durante las próximas décadas. Dos décadas más tarde, en 1997, publicó un segundo libro igualmente influyente. versión de la lista.

Las pocas docenas de matemáticos a los que se dirigía Kirby se habían reunido en la Instituto Americano de Matemáticas (AIM) en Pasadena para crear una tercera versión de la lista. No es que todos los problemas de las listas anteriores se hubieran resuelto (la mayoría no), pero muchos habían pasado de moda. Si bien las matemáticas son eternas, el campo lo practican humanos que siguen las modas pasajeras, y muchas de las viejas preguntas ya no se consideraban interesantes.

"Creemos que algunos subcampos son prestigiosos y otros piensan que a nadie le importa". dicho maggie molinero de la Universidad de Texas, Austin, uno de los 14 editores de la lista.

La conferencia fue concebida por Daniel Ruberman de la Universidad Brandeis, que había sido alumno de Kirby a principios de los años 1980, y Inanç Baykur de la Universidad de Massachusetts, quien fue becario postdoctoral con Ruberman. Querían que la lista estuviera compuesta por problemas difíciles e importantes.

"Debería ser un problema lo suficientemente interesante como para que, si surgiera una solución, tuviera el potencial de cambiar el campo", dijo Miller. Baykur añadió: “Quizás un pequeño porcentaje pueda solucionarse en los próximos dos o tres años”.

La forma en que los matemáticos deciden qué es importante ha cambiado en el medio siglo transcurrido desde que Kirby publicó su primera lista. Incluso si la verdad o falsedad de las conjeturas individuales es una cuestión de verdad objetiva, clasificar su importancia es un proceso social subjetivo. Y ese proceso se ve muy diferente en el mundo globalmente interconectado de hoy que en los años 1970. La historia de la nueva lista es la historia de esos cambios.

El comienzo de la lista

La propia carrera de Kirby comenzó con una lista de problemas. En 1963, como estudiante de posgrado en la Universidad de Chicago, asistió a una conferencia en Seattle donde el matemático Juan Milnor presentó una lista de los siete problemas abiertos más importantes en topología. El último problema fue la conjetura del anillo, que establece que los espacios entre dos esferas apropiadamente definidas siempre toman la forma de un anillo, que es la región entre dos círculos concéntricos.

Esto es cierto para los círculos y las bolas tridimensionales normales, pero en dimensiones superiores (que involucran pares de esferas de cinco o seis o cualquier número de dimensiones) suceden cosas sorprendentes. En 1969, mientras era profesor asistente en la Universidad de California, Los Ángeles, Kirby demostró que esto es cierto para dimensiones cinco y superiores, dadas algunas restricciones (las esferas tienen que ser suaves en un sentido matemático particular).

Con base en ese resultado, UCLA lo ascendió directamente a profesor titular y duplicó su salario. Dos años más tarde, ganó el prestigioso Premio Oswald Veblen en Geometría. Kirby atribuye este éxito al principio de su carrera en parte a la existencia de la lista Milnor, que le proporcionó una mayor variedad de proyectos para elegir de los que habría recibido de las personas que lo rodeaban inmediatamente en la escuela de posgrado.

"Para aquellos a quienes les gusta trabajar en problemas y no necesariamente quieren hacer lo que les dice su asesor, una lista de problemas es valiosa", dijo.

Kirby comenzó a reunir su primera lista de problemas en agosto de 1976 en una conferencia de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas en la Universidad de Stanford. Construyó la lista durante los dos años siguientes, a través de llamadas telefónicas, cartas y conversaciones informales con matemáticos en conferencias a las que asistió, y la publicó como un artículo extenso en una revista en 1978.

Como dice Miller: "Simplemente llamó por teléfono a todos los que conocía".

La lista contenía alrededor de 80 problemas organizados en cinco capítulos. Los primeros cuatro capítulos trataban sobre nudos unidimensionales, superficies bidimensionales y variedades tridimensionales y cuatridimensionales (espacios como la superficie de una esfera que parecen planos localmente pero que pueden tener una estructura global más complicada). El quinto capítulo fue para problemas diversos. Aunque Kirby realizó numerosas consultas para elaborar la lista, el producto final fue sin lugar a dudas suyo.

"Fui más inclusivo que exclusivo", dijo Kirby, pero agregó: "Fui prácticamente el árbitro final".

La segunda lista

Los finales de la década de 1970 fueron un momento propicio para crear una lista de problemas en topología. El campo era pequeño a principios de la década y durante los siguientes 10 años explotó. En 1981 Michael Freeman resolvió una versión cuatridimensional de la conjetura de Poincaré en un prueba monumental eso tomaría años para digerirlo. (La conjetura pregunta si los objetos matemáticos que se parecen a esferas deben ser en realidad esferas. Freedman demostró que la respuesta es sí.) Un año después, William Thurston publicó la conjetura de geometrización, que clasifica algunas estructuras topológicas en categorías geométricas. La conjetura introdujo herramientas del análisis (una forma avanzada de cálculo) directamente en la topología. Ese mismo año Simón Donaldson introdujo la geometría diferencial (que combina cálculo y geometría) en el campo con su trabajo sobre variedades de cuatro dimensiones.

“Es difícil describir cuán rápido fue el progreso. Fue uno de esos grandes períodos de las matemáticas, con una revolución tras otra”, dijo Ruberman.

Como resultado de toda esta actividad, la lista de Kirby quedó casi obsoleta en unos pocos años. Pero elaborar listas de problemas no era la principal ocupación de Kirby. No fue hasta una conferencia en la Universidad de Georgia en el verano de 1993 que decidió revisar la lista.

Kirby comenzó a recopilar problemas en la conferencia y continuó el trabajo por correo electrónico, que no era de uso común cuando preparó la primera lista. Como resultado, la lista se amplió. La lista final contenía 415 problemas y se publicó como libro en 1997. Una vez que se puso en marcha la tercera lista, el segundo esfuerzo pasó a conocerse retroactivamente como K2, como en la segunda versión de la lista de Kirby, y también como un guiño a la segunda. -montaña más alta del mundo. El formato ampliado ayudó a consolidar la segunda versión de la lista como piedra de toque y cuadro de mando. Resolver un problema de Kirby llama la atención de los jóvenes matemáticos.

"Si estás escribiendo una carta de recomendación para alguien y ha resuelto un problema de Kirby, menciónalo en tu carta", dijo John Baldwin, matemático del Boston College que participó en el taller y está ayudando a editar la lista.

Rayo Arunima, líder de grupo del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn, Alemania, que asistió al taller, dijo que una de las primeras cosas que hizo su asesor de doctorado después de aprobar sus exámenes de calificación en 2011 fue darle una copia de la lista K2: “ para tener una idea de los grandes problemas que interesan a la gente”.

Por supuesto, las decisiones sobre lo que es importante dependen de quién está en la sala tomando esas decisiones. Las listas de Kirby reflejan una filosofía pedagógica que surgió de la cosmovisión sociopolítica de Kirby. Se describe a sí mismo como un liberal clásico y cita al filósofo británico del siglo XIX John Stuart Mill como una influencia importante en su pensamiento.

"Los liberales clásicos realmente creían en la libertad, la libertad de expresión y una mano ligera por parte del gobierno, así que ese es mi punto de vista", dijo. “En cierto modo, eso va junto con no decirles a mis alumnos qué hacer. Es un poco darles rienda suelta”.

Kirby infunde estas creencias en su forma de pensar y hablar sobre la comunidad matemática. En 2021, junto con más de 1,000 otros profesionales científicos y matemáticos con sede en California, firmó conjuntamente un carta abierta criticando la propuesta del estado de adoptar un nuevo plan de estudios de matemáticas K-12 que habría hecho que las consideraciones de justicia social fueran más centrales en la forma en que el estado enseña la materia. La propuesta de California ha sido objeto de críticas considerables en la comunidad matemática por, entre otras cosas, limitar la disponibilidad de cursos avanzados y restar importancia a los cursos de precálculo en favor de la “ciencia de datos”.

Históricamente, Kirby se ha mostrado escéptico sobre la existencia de sesgos estructurales en las matemáticas, incluso en relación con el desequilibrio de género en el campo. En la década de 1970, alrededor del 10% de los matemáticos eran mujeres; hoy casi el 30% son, según un informe del 2020 por el Consejo Científico Internacional.

In un artículo que escribió en la década de 1990, y que fue presentado para su publicación en el Avisos de la American Mathematical Society pero nunca se publicó, Kirby argumentó que estas deprimentes cifras no eran el resultado de ningún sesgo en el campo. “En mi opinión, el menor número de mujeres en matemáticas no se debe a la discriminación por parte de los hombres ni a ninguna inferioridad inherente a las mujeres, sino más bien al simple hecho de que más hombres que mujeres eligen ingresar a las matemáticas”, escribió Kirby.

Para muchos matemáticos, la realidad de que pocas mujeres ingresan en este campo es todo menos un simple hecho. "La evidencia sugiere que aquí hay un efecto de retroalimentación: debido a que hay tan pocas profesoras, las estudiantes no pueden ver una carrera profesional clara a través de las matemáticas, por lo que deciden no realizar un doctorado". escribieron cuatro destacadas matemáticas en 2022 en el Suplemento de educación superior del Times. Como lo expresó el informe del Consejo Científico Internacional, después de analizar un conjunto de datos de cientos de miles de artículos matemáticos publicados, “varios factores estructurales y sistémicos deben haber afectado las carreras de las matemáticas de maneras diferentes a las de los hombres”.

Las opiniones de Kirby son bien conocidas dentro de la comunidad de topología de baja dimensión. Le pregunté a Kirby si pensaba que eso hacía más difícil para las mujeres participar en entornos como la reciente conferencia en la que él tuvo un papel destacado. Dijo que no lo sabía porque, con la excepción de un matemático, nadie se lo había planteado nunca.

Ray, que se desempeña como responsable de igualdad de género en el Instituto Max Planck, dijo: “No creo que eso haya influido en la forma en que se sintió la conferencia. Creo que influye en cómo se le ve en el campo de las matemáticas, pero creo que en general separamos a las matemáticas del matemático”.

Un esfuerzo comunitario

Tal como lo hizo después de K1, la topología de baja dimensión avanzó rápidamente después del lanzamiento de K2. Un avance importante fue la elaboración de la teoría de Seiberg-Witten, que utilizó ideas de la física para distinguir entre variedades de cuatro dimensiones. A finales de la década de 2000, la lista Kirby estaba lista para actualizarse nuevamente.

"La cuestión es que el campo se hizo mucho más grande desde la década de 1990, se volvió enorme", dijo Baykur.

Esta vez el impulso para crear una nueva lista provino de Ruberman y Baykur. Comenzaron a recopilar problemas alrededor de 2013. Pero entre sus otras obligaciones y la pandemia, no fue hasta octubre de 2023 que lograron reunir a un grupo de topólogos para reunirse en persona. Querían que la tercera versión de la lista fuera más un esfuerzo comunitario.

"La lista inicial era maravillosa, me alegro mucho de que estuviera ahí, pero este nuevo formato es digno de elogio porque la hace un poco más abierta", dijo Ray.

A finales de 2022, Kirby se unió a Baykur y Ruberman como coorganizador de la conferencia. Invitaron a expertos de las principales áreas de topología de baja dimensión (que corresponden a la misma estructura de cinco capítulos que Kirby había utilizado en versiones anteriores de la lista), pero trataron de evitar invitar a tantos especialistas que ninguno tuviera nada en común con los demás.

Baykur y Ruberman se encargaron de la mayor parte de la organización, mientras que Kirby asumió un papel más importante.

“Es como el bebé de Rob, ya sabes, como si estuviera emocionalmente a cargo. Pero Danny e Inanç se encargaron de toda la logística”, dijo Miller.

El lunes 30 de octubre el grupo comenzó a trabajar en la lista K3 (como se llamó por razones obvias y también en referencia a las superficies K3, que son objetos importantes en topología).

La lista reflejaba las formas en que la topología de baja dimensión había crecido desde K2. A principios de los años 1990, el trabajo de Andreas Floer dio lugar a nuevos métodos para clasificar variedades tridimensionales. A finales de esa década, esos métodos se habían convertido en un área completa de estudio, la homología de Heegaard Floer, y dentro de esa área existen ahora varios enfoques diferentes para distinguir variedades. Todos esos enfoques deberían ser consistentes entre sí, pero no se sabe con certeza si lo son, y K3 incluirá preguntas que apuntan a resolver el asunto.

Kirby instaló el campamento en la sala de conferencias principal donde los matemáticos se reunían cada mañana, evitando en su mayoría las sesiones de lluvia de ideas. El martes por la mañana David Gabai de la Universidad de Princeton dio una conferencia a todo el grupo sobre las conexiones entre la conjetura de Schoenflies y la conjetura de Poincaré, posiblemente los dos problemas abiertos más importantes en la topología suave de cuatro dimensiones.

La conjetura de Schoenflies tiene un sabor similar a la conjetura del anillo en la que trabajó Kirby en la década de 1960. Predice que si dos esferas difieren en una dimensión (como un círculo versus la superficie de una pelota), y se incrusta la de menor dimensión (el círculo) en la de mayor dimensión (la superficie de una pelota), la primera siempre corta este último en el equivalente a dos bolas. Esto es claramente cierto cuando se graba un círculo en un globo (como para formar el ecuador), pero al igual que con la conjetura del anillo, es menos claramente cierto en dimensiones superiores.

Kirby encontró a Gabai después y los dos hablaron durante horas sobre las implicaciones de la charla de Gabai. En otros momentos de la semana, Kirby pasó tiempo enviando correos electrónicos a su extensa red de la comunidad matemática para solicitar contribuciones a la lista.

"En cierto modo, fue bastante similar a lo que había hecho en las listas anteriores", dijo Ruberman. “No solía entrar tanto en las habitaciones. [Estaba] enviando correos electrónicos a la gente, diciendo: 'Alguien en el taller dijo esto, ¿qué piensas de eso?'”

La sala de guerra

En los dos últimos días de la conferencia, Baykur y Ruberman pidieron a los asistentes que escribieran los problemas que habían recopilado. Parecía una sala de guerra, mientras los matemáticos se apresuraban a escribir resúmenes de los problemas que habían resuelto antes de sus vuelos de regreso a casa.

“Realmente me sentí como cuando estás en la universidad, tienes tarea para el día siguiente y todos en la clase están en un salón y son las 2 am”, dijo Miller.

Un documento compartido en el que los matemáticos estaban compilando la lista estaba casi vacío el jueves por la mañana, pero creció rápidamente con docenas de matemáticos editándolo a la vez. El viernes, la lista de problemas tenía más de 250 páginas. La experiencia vertiginosa fue casi irreconocible en comparación con los dos esfuerzos anteriores de Kirby.

“Me hizo sentir viejo en el sentido de que cuando hice K2, lo hice durante un período de dos o tres años. Me sentaba con una persona y escribíamos el problema juntos”, dijo Kirby. "Con K3 sólo tuve un pequeño número de problemas."

Baykur y Ruberman esperan publicar una lista de unos 400 problemas para finales de año, después de revisiones y adiciones de topólogos que no estuvieron en la reunión de Pasadena. Baykur, Ruberman y los demás editores todavía están debatiendo con qué frecuencia actualizar la lista. Podrían extender la vida útil de K3 manteniendo actualizada una versión en línea, pero ven inconvenientes al hacerlo. Las dos primeras listas, dijo Baykur, “eran documentos históricos y fue extremadamente informativo ver cómo veían las cosas en las décadas de 1970 y 1990, y cómo pensaban sobre las matemáticas. Quería tener un documento contemporáneo similar”.