El secreto para arreglar un defecto fatal en el corazón de la teoría cuántica puede estar en tres oscuros libros de texto de la década de 1980. Pero se puede perdonar a los físicos por pasar por alto las ideas potencialmente transformadoras que contienen, ya que los volúmenes parecen a la vez amateurs e intimidantes.

Las pocas copias físicas que existen de la obra magna de Jean Écalle parecen poco más que fotocopias glorificadas. Los símbolos matemáticos de gran tamaño garabateados con tinta negra y gruesa interrumpen con frecuencia las oraciones escritas con precisión. El texto también está escrito en francés, un inconveniente para los investigadores del mundo de habla inglesa.

Las propias matemáticas plantean otra barrera. Las 1,110 páginas de la trilogía están llenas de objetos matemáticos originales y acuñaciones extrañas. Abundan los términos que suenan extraños como "trans-series", "gérmenes analizables", "derivaciones alienígenas" y "suma acelerada".

“Si echas un vistazo a esto por primera vez y no lo lees con mucho cuidado, podrías pensar que es un chiflado escribiendo algunas locuras”, dijo. Marcos Mariño, un físico matemático de la Universidad de Ginebra que guarda lo que él llama los "documentos históricos" en su estantería y utiliza herramientas desarrolladas por Écalle a diario. “Por supuesto que no lo es. Es uno de esos matemáticos visionarios”.

Sus matemáticas visionarias podrían ser justo lo que se necesita para superar una profunda vergüenza conceptual, una que los físicos han estado más o menos ignorando durante los últimos 70 años. En ese tiempo, los físicos han aprendido a hacer predicciones asombrosamente precisas sobre el mundo subatómico. Pero estas predicciones, por muy precisas que sean, son aproximaciones. Si uno busca precisión absoluta, la teoría cuántica de los libros de texto se desmorona y produce infinitas respuestas, resultados sin sentido que muchos físicos consideran basura matemática.

Al estudiar los libros de texto antiguos de Écalle, los físicos están empezando a sospechar que estas respuestas infinitas contienen innumerables tesoros y que, con el esfuerzo suficiente, las herramientas matemáticas que desarrolló deberían permitirles tomar cualquier infinito y desenterrar una respuesta finita y sin fallas a cualquier pregunta cuántica.

“De hecho, funciona muy bien” en muchos casos, dijo marco serone, un físico que estudia esta estrategia, que se conoce con el nombre de “resurgimiento”. “En algún momento este proceso termina, y lo que tienes frente a tus ojos es la solución exacta a tu problema original”.

La comunidad de resurgimiento es pequeña pero ha logrado un progreso constante a lo largo de los años. Una protoversión de la técnica obtuvo resultados exactos en la mecánica cuántica, que se limita al comportamiento de las partículas. Y encarnaciones más sofisticadas han permitido a algunos físicos aventurarse aún más en las turbias aguas de la teoría cuántica de campos y, recientemente, de la teoría de cuerdas. Pero eso es solo el comienzo de los grandes sueños albergados por los practicantes del resurgimiento. Su objetivo es nada menos que una nueva forma de pensar sobre los infinitos en las teorías físicas, una que se adapte mejor a nuestro mundo finito en la teoría y, tal vez, también en la práctica.

Posibilidades explosivas

La teoría del campo cuántico, la noción de que las partículas como los electrones son realmente ondas sostenidas en un campo cuántico subyacente, obligó a los físicos de la posguerra a enfrentar el infinito de frente.

Estos campos cuánticos son bestias inimaginablemente complicadas, con ondas transitorias y ondas coherentes que recorren un espacio aparentemente vacío. Estas ondas pasajeras pueden, en principio, aparecer en cualquier momento, en cualquier número y con cualquier energía, desafiando a los físicos a tener en cuenta una serie interminable de mezclas subatómicas para comprender el resultado preciso incluso de experimentos simples.

En la década de 1940, Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger y Richard Feynman idearon formas equivalentes de obtener respuestas finitas a partir de la infinita complejidad del campo electromagnético cuántico. Mejor conocido hoy en la presentación de Feynman, el cálculo tomó la forma de una cadena infinita de "Diagramas de Feynman” representando un desfile de posibilidades cuánticas cada vez más bizantinas. Comienzas con el diagrama del evento más simple posible (por ejemplo, un electrón que se mueve por el espacio) y calculas alguna propiedad medible, como cuánto se tambalea el electrón en un campo magnético. A continuación, agrega el resultado de un escenario más complicado, como el electrón expulsando brevemente y luego reabsorbiendo un fotón sobre la marcha. Luego agrega el drama subatómico que involucra dos ondas transitorias, luego tres y así sucesivamente, en una técnica matemática ampliamente utilizada conocida como teoría de la perturbación.

Sobre el papel, el cálculo de esta propiedad crea una "serie de potencias" interminable: una ecuación que involucra un cierto valor crítico, que llamaremos x, entonces x cuadrado x al cubo, y potencias cada vez mayores de x, todo multiplicado por diferentes coeficientes:

F(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ +… + a_1,000,000x^1,000,000 +….

Para el campo electromagnético, el valor de x es un constante clave de la naturaleza, alfa, que está cerca de 1/137. Es un número pequeño acorde con la relativa debilidad de la fuerza, y elevar este pequeño número a potencias mayores hace que los términos se reduzcan rápidamente.

Los diagramas de Feynman dan a los físicos los coeficientes para cada término: el a's, que son las partes difíciles de calcular. Tome el cálculo del "factor g" del electrón, un número relacionado con la forma en que la partícula se tambalea en un campo magnético. El diagrama de Feynman más simple te da a₀, que es exactamente igual a 2. Pero si considera un diagrama de Feynman un poco más complicado, uno en el que aparece la primera ondulación temporal, debe calcular el a₁ término, y ahí es donde el infinito asoma la cabeza. Tomonaga, Schwinger y Feynman idearon una manera de hacer finito este término. Su cálculo de aproximadamente 2.002 para el factor g del electrón coincidió con las mediciones experimentales de esa generación, demostró que la teoría cuántica de campos podía tener sentido y les valió a los tres el Premio Nobel de Física de 1965.

Su enfoque también lanzó una nueva era, en la que los físicos tenían que escalar montañas cada vez más altas de diagramas de Feynman para calcular más a's. Esas montañas se vuelven empinadas y rápidas. En 2017, un físico terminó dos décadas obra de amor, calculo preciso del factor g del electrón que requirió calcular ecuaciones peludas de 891 diagramas de Feynman. El resultado reveló solo el quinto término de la serie.

Los diagramas de Feynman siguen siendo de vital importancia en la física moderna. Una colección de cálculos similares pero aún más complicados para el muón, el corpulento primo del electrón, fue noticia en 2021. Un experimento reveló una discrepancia de octava decimal de las predicciones teóricas. La anomalía modesta representa una de las mejores esperanzas para ver lo que hay más allá del imponente edificio que ha crecido a partir del trabajo de Feynman y sus colegas.

Pero esta serie de victorias experimentales ha ocultado el hecho de que, en el fondo, esta forma de abordar la teoría cuántica de campos no funciona en absoluto.

Los diagramas de la caída de Feynman

Freeman Dyson, otro pionero de la posguerra, fue el primer físico en darse cuenta de que la teoría cuántica perturbativa probablemente estaba condenada al fracaso. Corría el año 1952, y mientras otros celebraban el hecho de que los dos primeros términos de la serie de potencias de Feynman podían hacerse pequeños y finitos, Dyson estaba preocupado por el resto de la serie.

Los físicos esperaban ingenuamente que el tratamiento del diagrama de Feynman del campo electromagnético resultara ser lo que los matemáticos llaman "convergente". En una serie convergente, cada término subsiguiente es mucho más pequeño que el término anterior, y cuantos más términos hay, más converge la suma a un solo número finito. Por el contrario, una serie también puede ser "divergente": los términos posteriores son más grandes que los términos anteriores y la serie crece sin límite. La suma "diverge", sin dar una respuesta significativa obvia.

De hecho, los primeros términos de la suma de Feynman se redujeron, como consecuencia del pequeño valor de alfa, y el propio Dyson al principio concluyó que el electromagnetismo cuántico perturbativo debería ser convergente en general.

Pero luego Dyson mezcló el razonamiento matemático y físico para hacer una conjetura más sofisticada sobre el destino de la serie. Pensando matemáticamente, Dyson sabía que una serie de potencias convergentes converge más rápido cuando x se vuelve más pequeño, porque los términos superiores (que involucran poderes de x) se encogen más rápidamente.

Pero cuando permitió x al pasar por cero, todo se vino abajo.

La razón tiene que ver con nuestro vacío, que constantemente produce pares transitorios de ondas con cargas positivas y negativas. Esas ondas normalmente se atraen y desaparecen. Pero si alfa se volviera negativo, esas ondas se separarían y se convertirían en partículas reales. La erupción continua de partículas de la nada desencadenaría una fusión cósmica, una "desintegración explosiva del vacío", como lo expresó Dyson.

Físicamente, cualquier alfa negativo es un problema. Sin embargo, matemáticamente, el signo de x es irrelevante: si una serie diverge para un pequeño negativo x entonces también debería divergir para un pequeño positivo x. Por lo tanto, para un alfa positivo pequeño (es decir, 1/137), la serie también debería divergir. La catastrófica situación física de Dyson implícito que la célebre forma de manejo del electromagnetismo cuántico de Feynman predijo, eventualmente, el infinito.

Hoy en día, los físicos esperan que la electrodinámica cuántica (como se llama la teoría cuántica de campo del electromagnetismo) comience a divergir en algún lugar alrededor del término 137. Eso es, quizás, a₁₃₈x¹³⁸ puede ser más grande que a₁₃₇x¹³⁷, e incluirlo en la suma hará que la predicción sea menos, en lugar de más, precisa.

El problema es que los términos más altos conducen a un crecimiento explosivo (crecimiento factorial) en el número de diagramas de Feynman. Eso significa calcular a₉ requerirá aproximadamente 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (alrededor de 362,880) diagramas, y a₁₀ requerirá alrededor de 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (3,628,800) diagramas. Este crecimiento factorial en los diagramas contribuyendo a la aeventualmente vencerá la reducción de los poderes de alfa, y la suma crecerá indómita hacia el infinito.

Para la mayoría de los físicos, la inevitable divergencia de incluso la teoría cuántica de campos más simple sigue siendo un problema abstracto, como la muerte de nuestro sol en aproximadamente mil millones de años. En un momento en que calcular, y mucho menos probar, incluso el décimo término de la serie parece ciencia ficción, ¿por qué preocuparse por los peligros que acechan mucho más allá del 10?

Pero para unos pocos elegidos, el hecho de que la teoría mejor entendida de la física moderna técnicamente brinde infinitas respuestas a cualquier pregunta que desee formular sigue siendo profundamente inquietante. “No sabemos cómo simular el mundo, incluso en principio, incluso con recursos computacionales ilimitados”, dijo Emanuel Katz, un físico de la Universidad de Boston que estudia nuevos métodos para ir más allá de los diagramas de Feynman.

La divergencia del diablo

Mientras tanto, los matemáticos habían estado desconcertados por las series divergentes durante más de un siglo antes de que Dyson comenzara a preocuparse por la teoría cuántica.

“Las series divergentes son un invento del diablo, y es vergonzoso basar cualquier demostración en ellas”. bromeó Niels Henrik Abel en 1828. “En su mayor parte los resultados son válidos, es cierto, pero es algo curioso. Estoy buscando la razón.

Abel murió al año siguiente, a los 26 años. Pero cerca de finales de siglo, Henri Poincaré dio un paso significativo hacia la comprensión de lo que hacía que las series divergentes fueran tan resbaladizas: no eran satánicas, simplemente incompletas.

Poincaré estaba respondiendo a una vieja pregunta: ¿Cómo podrían tres cuerpos celestes orbitar entre sí? Se dispuso a abordar el problema utilizando la teoría de la perturbación, tal como lo harían Feynman y Dyson cuando se encontraron con los campos cuánticos un siglo después. Poincaré buscó construir la función misteriosa, presumiblemente complicada, que describe las trayectorias de los tres cuerpos utilizando una suma infinitamente larga de unidades más simples, un proceso similar a construir un automóvil con piezas simples de Lego. La esperanza era que la serie convergiera en una respuesta finita, una señal de que la serie era una representación perfecta de una función única.

Inicialmente, pensó que había tenido éxito. En 1890, el rey Oscar II de Suecia y Noruega otorgó a Poincaré un premio por su progreso en el famoso problema. Pero poco antes de que se publicara su solución, pidió al rey que detuviera las imprentas. La serie fue divergente. Un análisis posterior (que sentaría las bases de la teoría del caos) reveló que no coincidía con una sino con dos funciones distintas. Era una complicación con la que los físicos ahora están muy familiarizados.

"Sería un completo milagro si el problema de física que le interesa estuviera realmente asociado con una serie convergente", dijo carl doblador, un destacado físico matemático de la Universidad de Washington en St. Louis. (Hoy en día, los físicos saben que tres cuerpos celestes pueden interactuar en innumerables formas muy diferentes, y ninguna ecuación simple puede contener todas las posibilidades).

Bender compara el tipo de series divergentes que encontró Poincaré con una visión borrosa de una función. El desenfoque se adapta a muchas funciones posibles, al igual que la silueta en bloque de un vehículo Lego podría coincidir con cualquier número de autos deportivos. Cuando expande una función complicada en una serie tan "asintótica", "ha perdido información", dijo Bender.

Desde los días de Poincaré, matemáticos y físicos han llegado a apreciar que existen otros tipos de términos, que están “más allá de todo orden”, que son incluso más pequeños que el más pequeño término de poder. Estos términos “exponencialmente pequeños” pueden venir en forma de e^(-1/x), por ejemplo, y proporcionan la información perdida. Si los incluye en su serie y selecciona un procedimiento de "reanudación" apropiado para hacer que la serie sea finita, puede deshacerse de parte, si no de todo, del desenfoque. Son los bloques de nano-Lego necesarios para distinguir un Ferrari de un Lamborghini.

Los físicos llaman a estos términos adicionales "no perturbadores", porque están más allá del alcance de la teoría de perturbaciones. Puedes pasar un billón de años dibujando diagramas de Feynman y calculando a's, y nunca aprenderá acerca de ciertos eventos físicos codificados en estos términos no perturbadores. Si bien los efectos descritos por estos pequeños términos pueden ser raros o sutiles, pueden marcar una gran diferencia en el mundo real.

Tome la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica, por ejemplo, que describe el comportamiento ondulatorio de las partículas. Es una ecuación complicada que los físicos suelen aproximar utilizando la teoría de perturbaciones. Aunque la serie infinita resultante predice maravillosamente muchos experimentos, pasa por alto por completo un evento extremadamente improbable (pero no imposible) conocido como túnel, en el que la partícula esencialmente se teletransporta a través de una barrera.

La formación de túneles es uno de los muchos fenómenos no perturbadores de la física cuántica, pero los efectos no perturbadores están en todas partes: el crecimiento ramificado de los copos de nieve, el flujo de un líquido a través de una tubería con orificios, las órbitas de los planetas en un sistema solar, la ondulación de las olas atrapado entre islas redondas, e innumerables otros fenómenos físicos no son perturbadores.

“Están ahí y son cruciales”, dijo daniele dorigoni, físico de la Universidad de Durham. "La teoría de la perturbación por sí sola no es suficiente".

Debido a su naturaleza universal, hordas de matemáticos y físicos han trabajado en varios aspectos del metaproblema de cómo calcular términos no perturbativos. Y hacia fines del siglo XX, una variedad de investigadores comenzó a encontrar indicios tentadores de que las series perturbativas parecían saber más de lo que deberían.

Entre estos investigadores, un grupo del Centro de Investigación Nuclear Saclay en Francia en la década de 1980 ayudó a desarrollar una forma de combinar términos de potencia perturbativa con términos exponenciales no perturbadores para obtener resultados exactos para la creación de túneles en la mecánica cuántica. Su técnica funcionó en la medida en que podían confiar en una tecnología matemática crucial de principios de siglo conocida como resumen de Borel. El resumen de Borel era la herramienta más poderosa del momento para obtener números finitos de series divergentes, pero tenía sus límites. De vez en cuando daba resultados erróneos o contradictorios, lo que frustraba a los físicos que esperaban que una serie pudiera predecir correctamente el resultado de un experimento.

“Cuando los físicos encontraban una serie que no era sumable de Borel, esencialmente se daban por vencidos”, dijo Mariño.

Sin que ellos lo supieran, un excéntrico matemático que trabajaba de forma aislada a pocos kilómetros del grupo de Saclay ya había realizado una exploración sin precedentes de los picos infinitamente altos de las series asintóticas.

Los diagramas de Feynman contraatacan

Jean Écalle se ha sentido cautivado por las matemáticas del infinito desde que era un adolescente. Recuerda relajarse en la orilla de un arroyo de montaña un verano en la escuela secundaria y preguntarse si podría haber una versión más general de la operación derivada, un ejercicio en infinitesimales que los estudiantes aprenden primero en cálculo elemental.

A medida que continuaba su educación, Écalle desarrolló el gusto por trabajar solo. Incluso trató de evitar leer el trabajo de sus compañeros matemáticos, por temor a que su pensamiento lo llevara a las rutinas establecidas.

“Soy temperamentalmente reacio a perderme en la literatura matemática”, dijo Écalle. “También pude observar, una y otra vez, cómo una inmersión demasiado profunda en la literatura matemática tendía a sofocar la creatividad”.

A principios de la década de 1970, la curiosidad de Écalle lo llevó a seguir los pasos de Poincaré. Comenzó a analizar objetos matemáticos aún más abstractos que surgieron en el estudio de los cuerpos celestes. Las series asintóticas surgieron en el camino, al igual que la derivada más general sobre la que había especulado en la escuela secundaria. Écalle eventualmente desarrollaría lo que describió como "una estructura precisa y de contornos nítidos, un cálculo alienígena, que surge espontáneamente de lo que parecería ser el contexto más poco prometedor y amorfo: la divergencia".

El cálculo alienígena de Écalle es abstracto y multifacético. Pero el mensaje que contenía para los físicos que eventualmente lo encontrarían era claro. Una serie perturbativa, aunque diverja, esconde una biblioteca completa de información no perturbativa. La serie contiene todo lo que se necesita para actualizarlo de una manera que elimina el desenfoque, restaurando una imagen nítida de una función correspondiente única. Los bloques de Lego, quizás, sean suficientes después de todo.

A pesar de sus profundas consecuencias, la obra de Écalle languideció al principio. Era demasiado oscuro y demasiado abstracto para los físicos (incluso los de habla francesa). Y no era lo suficientemente riguroso como para llamar la atención de los matemáticos.

“Es uno de esos genios que piensa que las pruebas detalladas, con todos los casos, no son importantes. Lo que es realmente importante es la gran vista”, dijo Mariño.

Écalle esbozó por primera vez los conceptos básicos del resurgimiento en tres artículos en 1976, y entre 1981 y 1985 escribió sus tres libros de texto, en los que expuso minuciosamente el cálculo alienígena del resurgimiento. Nunca aparecieron en una revista matemática. En cambio, publicó la trilogía a través del departamento de matemáticas de su universidad, completando ecuaciones a mano.

Si los físicos hubieran logrado profundizar en sus libros de inmediato, su experiencia no habría sido diferente al contacto con una civilización extraterrestre inteligente. Se habrían encontrado con maquinaria matemática años luz antes de lo que estaban acostumbrados.

“Resurgence es muy elegante”, dijo Bender. Pero, para decirlo de la manera más simple posible, permite a los profesionales profundizar en los términos distantes de una serie asintótica (calculada usando diagramas de Feynman, por ejemplo) y descubrir las piezas faltantes necesarias para especificar una función única (una que describa la creación de túneles, por ejemplo) . En resumen, revela un puente que une los eventos físicos descritos por la teoría de la perturbación con los descritos por los términos no perturbadores. “Es una relación muy complicada”, dijo Bender, antes de declinar cortésmente intentar explicarlo.

Cuando Écalle, ahora de 73 años, fue contactado por Quanta revista con preguntas sobre la historia del resurgimiento, respondió componiendo un tratado de 24 páginas sobre el tema en seis días: un placer para los investigadores hambrientos de más información sobre el resurgimiento y su desarrollo. “Es un tesoro”, dijo David Sauzin, matemático del Instituto de Mecánica Celestial de París y renombrado decodificador Écalle.

Aquí hay una versión de dibujos animados extremadamente tosca del enfoque:

Primero, escriba la serie perturbativa típica. Los términos se reducen al principio, pero eventualmente crecen rápidamente a medida que ase está haciendo muy grande. Grafique el crecimiento de la a's, y verá que se disparan hacia arriba con una velocidad que casi, pero no exactamente, coincide con el crecimiento factorial. Estudia la diferencia entre la línea trazada por el a's y una curva que crece factorialmente para aprender el primer término no perturbador: el mayor de los ladrillos nano-Lego.

Pero eso es solo el comienzo. Aplicar el primer paso de una reanudación de Borel. Esto elimina el crecimiento factorial, permitiéndote ver el comportamiento de los términos perturbativos con más detalle. La gráfica resultante de modificado a's debería crecer exponencialmente. Pero estúdielo detenidamente y verá que los datos perturbativos son un poco erróneos. Esta desviación proviene de una serie asintótica completamente nueva, que se multiplica por el primer término no perturbativo.

El procedimiento continúa. Elimine el crecimiento exponencial de los datos perturbativos y, si tiene buen ojo, puede detectar más desviaciones que revelen un segundo término no perturbativo. Mire más de cerca y encontrará que este término no perturbativo viene con otra serie asintótica.

Al final del día, puede haber cualquier número de términos no perturbativos con series asintóticas adjuntas. Encuentra tantos de estos como puedas y tendrás un objeto llamado serie trans en tus manos. La serie trans comienza con la familiar serie perturbativa. Luego viene un término no perturbativo (con una serie), y luego otro y otro.

La serie trans de Écalle superó las dificultades con la reanudación de Borel que previamente habían dejado perplejos a los físicos. Si conoce la serie trans que describe alguna medida, como el factor g del electrón, la reanudación de Borel le dará una respuesta única y correcta. Además, el resurgimiento afirma que las desviaciones sutiles en la familiar serie perturbativa a la cabeza de la serie trans le dicen todo lo que necesita saber sobre el desfile potencialmente infinito que sigue.

Esta imagen matemática tiene dos consecuencias sorprendentes para los físicos. Primero, sugiere que podrían existir resultados exactos, no meras aproximaciones, para campos cuánticos y otros sistemas complicados. Si es así, establecería la teoría cuántica como finita y sensible.

“Establecer que en la teoría cuántica de campos las cosas están sujetas a un resurgimiento sería un gran avance”, dijo Serone.

En segundo lugar, sugiere que la variedad potencialmente infinita de piezas no perturbativas puede deducirse por completo de la serie perturbativa cuya divergencia preocupaba a Dyson. Lo que durante décadas parecían reinos independientes de la física están, de hecho, íntimamente relacionados.

“En lugar de pensar en la serie perturbadora como algo que va a divergir y causar muchos problemas”, dijo Mariño, “es solo la entrada a un mundo muy complejo y fascinante”.

De hecho, de ahí viene el nombre de resurgimiento, dijo Gökçe Basar, un físico de la Universidad de Carolina del Norte, Chapel Hill: "El comportamiento de los últimos términos en la serie perturbativa 'resurge' en esos términos no perturbativos". Es enrevesado, dijo, pero "es bastante hermoso".

Surgiendo en la física

La conciencia del descubrimiento de Écalle, que se puede acceder en secreto al conocimiento no perturbativo a través de la teoría de la perturbación, se ha filtrado lentamente en el mundo de la física matemática. Allí, los físicos ya lo han utilizado para identificar nuevas piezas ocultas en dos de las teorías más intensamente estudiadas del siglo XXI: la teoría de la fuerza fuerte y la teoría de cuerdas.

Mithat Ünsal, físico de la Universidad Estatal de Carolina del Norte, ha dedicado gran parte de su carrera a intentar comprender la fuerza fuerte que mantiene unidos a los quarks para formar protones y otras partículas. En 2008, después de leer sobre el resurgimiento en un 1993 artículo sobre series divergentes, buscó una visión general de la obra de Écalle. “Mi francés está muy oxidado, pero había un prefacio en inglés con terminología sugerida”, recordó Ünsal. “Lo dominé y traté de entenderlo”.

más tarde conoció Geraldine Dunne de la Universidad de Connecticut en una conferencia, y mientras conversaban mientras tomaban un café, descubrieron que el mismo artículo los había inspirado a ambos a comenzar a aprender sobre el resurgimiento. Decidieron unir fuerzas.

Ambos físicos estaban motivados por el hecho de que estaban tratando de comprender algo aún más complicado que lo que confrontaron Dyson y Feynman. Esos físicos tuvieron suerte con el campo electromagnético. Es extremadamente débil, con un alfa de solo 1/137. Otra fuerza fundamental, la interacción débil, demostró ser igualmente fácil de domar, siendo su versión alfa 10,000 veces más pequeña aún. La teoría de la perturbación funciona para estas dos fuerzas porque son tan débiles que es casi como si no existieran en absoluto.

Pero esa suerte terminó cuando los físicos intentaron abordar la fuerza fuerte. La fuerza fuerte es alrededor de 100 veces más fuerte que la fuerza electromagnética, con un análogo alfa de alrededor de 1, y se niega a ser ignorada. Elevar al cuadrado o al cubo 1 no crea ningún efecto de reducción, por lo que la serie perturbativa se dirige directamente hacia el infinito desde los primeros términos. Los físicos han pasado décadas desarrollando una forma alternativa de manejar la fuerza fuerte utilizando supercomputadoras, logrando resultados espectaculares en el camino. Pero los cálculos numéricos no dan mucha idea de cómo la fuerza fuerte hace lo que hace.

Ünsal y Dunne reconocieron que el resurgimiento, con su poder para domesticar series divergentes, podría llevarlos un paso hacia el sueño de comprender la fuerza fuerte con lápiz y papel. En particular, se propusieron resolver un misterio que había plagado la teoría de la fuerza fuerte durante 40 años.

En 1979, los físicos Gerard 't Hooft y giorgio parisi infirió la existencia de términos diminutos y extraños en los cálculos de fuerza fuerte. Los llamaron renormalons, y nadie sabía qué hacer con ellos. Los renormalones no parecían corresponder a ninguna ondulación específica u otro comportamiento de campo concreto. Pero allí estaban, arruinando los cálculos, no obstante.

Ünsal y Dunne abordaron las renormalizaciones con resurgimiento. A pesar de que estaban trabajando en un análogo 2D de la fuerza fuerte, les llevó aproximadamente un año. Pero en 2012, mostraron que, al menos en su modelo simplificado, las renormalizaciones de 't Hooft y Parisi coincidían con comportamientos que los físicos entendían.

Ellos “resolvieron el misterio y pudieron encontrar a qué correspondían las renormalizaciones”, dijo Jordán Cotler, un físico de la Universidad de Harvard que actualmente está realizando un intento similar de comprender las renormalizaciones en una teoría más realista de la fuerza fuerte.

El año pasado, sin embargo, los investigadores utilizaron el resurgimiento para agregar una nueva arruga. Mariño y sus colaboradores realizaron un cálculo más riguroso (aunque también en una teoría simplificada) y descubrió nuevas renormalizaciones más allá de lo que el grupo llama "la tradición estándar" de 't Hooft y Parisi. Mariño ahora sospecha que las renormalizaciones son solo la punta de un iceberg no perturbativo. Resurgimiento y otro no perturbativo métodos puede revelar que los físicos se han echado a perder por su éxito histórico en hacer coincidir términos matemáticos individuales con eventos específicos. Si tiene razón, el mundo cuántico puede llegar a ser algún día aún más difícil de visualizar de lo que ya es.

“Tengo dudas de que esta imagen, una exponencial [a] un objeto, vaya a pasar por las teorías generales de campo”, dijo. “Puede suceder que el mundo de las correcciones exponenciales sea realmente salvaje”.

Mariño también ha sido un actor clave en el descubrimiento de un nuevo efecto no perturbativo en la teoría de cuerdas, la noción especulativa y no probada de que el universo no está hecho de partículas puntuales sino de objetos extensos como cuerdas. El movimiento de tales cuerdas determinaría las propiedades de las partículas que observamos.

La teoría de cuerdas, como la teoría cuántica, generalmente se trata como una serie perturbativa de diagramas similares a Feynman que representan cuerdas que se fusionan y se dividen en formas cada vez más complicadas. Pero a diferencia de los teóricos cuánticos, los teóricos de cuerdas carecen incluso de la más mínima guía sobre los efectos no perturbadores de la teoría. Suponen que, así como la teoría cuántica contiene túneles y renormalizaciones, la formulación no perturbativa completa de la teoría de cuerdas también contiene dragones.

En la década de 1990 se descubrió un ejemplo sorprendente de fenómenos no perturbativos en la teoría de cuerdas, objetos en forma de lámina conocidos como D-branas. Las D-branas impulsarían más tarde algunos de los mayores desarrollos de la teoría de cuerdas.

Mariño se preguntó qué más podría haber por ahí.

Formó parte de un grupo que en 2010 notó una serie de contrapartes negativas escondidas en la sombra de los términos de la brana D. No estaba claro qué fenómeno físico podrían describir estos términos asociados.

Una pista llegó seis años después, cuando Cumrun Vafa de Harvard y sus colaboradores exploraron una teoría de cuerdas generalizada donde ciertas cantidades podrían volverse negativas. Encontraron D-branas con tensión negativa, la versión brana de tener masa negativa. Estas bestias exóticas distorsionó la estructura de la realidad a su alrededor, creando múltiples dimensiones de tiempo y violando el principio fundamental de que las probabilidades siempre deben sumar 100%. Pero el grupo no encontró indicios de que estos objetos deban escapar de su extraño mundo y aparecer en la teoría de cuerdas estándar.

Ahora ricardo schiappa, amigo de Mariño y físico teórico de la Universidad de Lisboa, cree haber encontrado pruebas de lo contrario. En los últimos meses, Schiappa y sus colaboradores utilizaron el resurgimiento para analizar un puñado de modelos simples de teoría de cuerdas. Descubrieron que las branas D de tensión negativa de Vafa coincidían exactamente con los términos exponencialmente pequeños que Mariño había encontrado en 2010. Las branas D negativas son socios inevitables de las branas D, argumentó el grupo en un preimpresión de enero. “Lo que hemos descubierto ahora es que son fundamentales para la teoría de perturbaciones”, dijo Schiappa.

Otros teóricos aún no están seguros de qué hacer con el nuevo hallazgo. Vafa señala que el equipo de Schiappa hizo sus cálculos en modelos de cuerdas simplificados y que no se garantiza que el resultado se sostenga en formulaciones más sofisticadas. Pero si lo hace, y si la teoría de cuerdas realmente describe nuestro universo, debe contener alguna otra forma de detener la formación de D-branas negativas.

“No deberían estar allí como un objeto regular en esa teoría”, dijo Vafa. De lo contrario, “esto abre toda una caja de rompecabezas de Pandora”.

Cisnes negros y otras anomalías

A pesar de su progreso en la detección de renormalones y branas negativas, los físicos citan dos obstáculos formidables para coronar el resurgimiento como el sucesor oficial de la teoría de la perturbación.

En primer lugar, no se ha demostrado que todas las teorías tengan una estructura resurgente. La pregunta es particularmente aguda para las teorías cuánticas de campos, que los físicos han estado comprobando caso por caso. Es un proceso laborioso, un poco como estudiar mamíferos una especie a la vez. Después de observar humanos, delfines y gatos, es posible que comience a sentirse seguro de que el nacimiento vivo es una característica universal de los mamíferos. Pero siempre existe la posibilidad de que a la vuelta de la siguiente esquina encuentres un ornitorrinco poniendo un huevo.

Es por eso que Serone ha dedicado los últimos tres años al resurgimiento de las pruebas de estrés en ciertas teorías cuánticas de campos. En 2021, él y sus colaboradores estudió una teoría que comparte características clave con la fuerza fuerte, pero aún es lo suficientemente simple como para permitirles calcular los muchos a's necesarios para realizar el resurgimiento. Calcularon la energía del espacio vacío en dicho universo utilizando el resurgimiento y otros dos métodos, demostrando que los tres estaban de acuerdo. Ha habido argumentos cualitativos de que el resurgimiento debería mantenerse en la teoría cuántica de campos, pero este fue uno de los primeros cálculos concretos, lo que encendió un mayor optimismo.

“En la mayoría de los casos que se han probado hasta ahora, el resurgimiento funciona o tenemos buenas razones para creer que entendemos cuando no es así”, dijo Serone.

El problema más grave es que, para detectar piezas no perturbadoras, es necesario conocer una gran cantidad de términos perturbadores. En su investigación reciente, por ejemplo, Serone eligió teorías cuánticas de campos con puertas traseras matemáticas que le permitieron generar miles de términos. Pero para la fuerza fuerte, calcular solo ocho o nueve está actualmente fuera de discusión. Incluso los pioneros del método no se andan con rodeos sobre cuándo esperan verlo producir un número real como la masa del protón (un hazaña matemática vale la pena premio de un millón de dólares).

“Es extremadamente difícil”, dijo Ünsal, suspirando. “No veo una forma inmediata”.

“Lo que decía Écalle es que la respuesta está rigurosamente ahí en principio. Pero obtener la respuesta es muy, muy difícil”, dijo Bender. “Mi consejo sería, no te pares en un pie mientras esperas”.

Una nueva esperanza

Pero la abrumadora dificultad no ha acabado con el sueño de tratar de obtener predicciones reales del resurgimiento. Por un lado, la técnica ya ha producido resultados inalcanzables de otro modo en la mecánica cuántica. En la década de 1980, los físicos matemáticos franceses de Saclay utilizaron métodos proto-resurgentes para hacer una predicción exacta del túnel de partículas, un problema que los físicos anteriormente solo habían podido aproximar. Dunne y Ünsal han realizado cálculos similares con lápiz y papel usando las herramientas más refinadas de Écalle. Otro grupo ha comprobado estos resultados utilizando métodos estándar. Sólo pudieron llegar tan lejos como seis decimales — un esfuerzo hercúleo que tomó meses de tiempo y una potencia informática sustancial.

Tales ejemplos dramáticos han motivado a Dunne a desarrollar formas hipereficientes de practicar el resurgimiento, con la esperanza de trasladarlas algún día a las teorías cuánticas de campos. En los últimos cinco años, junto con Ovidiú Costin, un matemático de la Universidad Estatal de Ohio, ha encontrado técnicas que obtienen más rendimiento por el dinero perturbador. En algunos casos (que aún están lejos de las teorías del mundo real), han encontrado que solo 10 a 15 términos son suficientes. “Ese número podría haber resultado ser 1,000, y me habría dado por vencido y me habría ido a otro lado”, dijo. "Es un poco tentador".

El trabajo de Dunne y Costin incluso ha logrado llamar la atención del propio Écalle. El fundador del resurgimiento no ha seguido de cerca las olas que desató su trabajo, llamándose a sí mismo "un ignorante consumado en física teórica". Sin embargo, aunque le preocupa que cualquier trabajo sobre modelos especulativos como la teoría de cuerdas pueda estar "construido sobre arenas movedizas", elogia los esfuerzos de los investigadores para darle al resurgimiento una puesta a punto matemática.

“Incluso si el terreno físico cede, los impresionantes resultados matemáticos de, digamos, O. Costin y G. Dunne están ahí para quedarse”, dijo.

Para Écalle, el resurgimiento es algo así como un capítulo pasado. Han pasado casi 40 años desde su trilogía original. Continuó desarrollando el cálculo extraterrestre hasta alrededor del año 2000, y pasó los últimos 20 años explorando una rama más algebraica. Si alguna vez decide publicar una trilogía secuela que reúna todos sus hallazgos en un solo lugar, quién sabe qué tesoros encontrarán los físicos dentro.

“Creo que ha descubierto muchas herramientas que aún están por explorar”, dijo Mariño.