Las verdades matemáticas a menudo nacen del conflicto entre orden y desorden. Los matemáticos descubren patrones y, para comprender mejor las misteriosas fuerzas en juego, buscan impulsos compensatorios que alteren esos patrones.

Esa tensión surgió repetidamente en nuestra cobertura el año pasado. Cubrimos avances en teoría de grafos, combinatoria, teoría de números y geometría, áreas donde los patrones surgen de maneras inesperadas, a veces debido a conexiones entre estructuras matemáticas aparentemente distintas y, a veces, debido a mecanismos intrínsecos ocultos descubiertos por los matemáticos en nuevas pruebas.

En una fascinante entrevista con nuestra escritora principal Jordana Cepelewicz, andres granville discutió cómo el cálculo y la experimentación pueden, de maneras a veces olvidadas, ayudar a los matemáticos a buscar patrones ocultos. También habló sobre los cambios en lo que se necesita para convencer a otros matemáticos de que un resultado es verdadero y por qué cree que examinar la naturaleza social de las matemáticas es esencial para comprender qué es una prueba.

Esta fue una de varias conversaciones que publicamos el año pasado sobre la naturaleza de la verdad matemática. Eugenia Cheng habló con Alegría del porqué presentador de podcast Steven Strogatz sobre teoría de la categoría, una especie de “matemática de las matemáticas” que puede asustar a otros matemáticos con su nivel de abstracción. Y Justin Moore habló con Strogatz sobre los límites de los axiomas (verdades básicas y obvias) de teoría de conjuntos y por qué siempre habrá preguntas matemáticas importantes y sin respuesta.

Aunque la mayor parte de nuestra cobertura cayó de lleno en el ámbito abstracto, kim min hyong habló con Kevin Hartnett sobre Matemáticas para la Humanidad, una organización que fundó para apoyar a los matemáticos que quieren utilizar las matemáticas para resolver desafíos sociales. Y Mike Orcutt reportaron sobre cómo se utilizan las matemáticas para determinar la imparcialidad de los mapas de distritos legislativos y dibujar otros más equitativos.

Si hay un área de las matemáticas que resultó particularmente fructífera en 2023, es la teoría de grafos. Uno de los mayores descubrimientos matemáticos del año pasado fue la prueba de una nueva y más estricta límite superior de los números de Ramsey. Estos números miden el tamaño que deben alcanzar los gráficos antes de contener inevitablemente objetos llamados camarillas. El descubrimiento, anunciado en marzo, fue el primer avance de este tipo desde 1935. Se refería a los llamados números de Ramsey simétricos. A esto le siguió en junio un nuevo resultado en el caso asimétrico más general.

Ambos artículos se referían a lo que sucede cuando los gráficos crecen infinitamente. Pero ¿Cuánto también reflexionó la media distancia, analizando lo que los matemáticos pueden probar acerca de gráficas que son demasiado grandes para analizarlas usando fuerza bruta, pero más pequeñas que el límite asintótico infinito.

Presentamos nuevos resultados sobre cómo funcionan las redes de osciladores conectados. entrar en sincronía y cómo la teoría de grafos se conecta con teoría cuántica de campos. Informamos un nuevo descubrimiento sobre las posibilidades de subdividir objetos matemáticos llamados espacios vectoriales de una manera particular en subconjuntos llamados diseños. Y Patrick Honner, nuestro Academia cuantificada columnista, escribió sobre la forma en que propiedades locales de grafos rigen su estructura global.

¿Cuánto También publicó artículos sobre dos problemas de coloración de larga data. Se exploró la prueba del famoso teorema de los cuatro colores, que muestra cómo cuatro colores son suficientes para colorear cualquier mapa del plano de modo que no haya dos regiones adyacentes que tengan el mismo color. El otro cubrió un nuevo resultado sobre una pregunta menos conocida pero igualmente intrigante, que plantea cuanto de un avion se puede colorear de una manera que garantice que no haya dos puntos que estén exactamente a una unidad de distancia y tengan el mismo color.

La teoría de grafos puede considerarse como una rama de la combinatoria: el estudio matemático del conteo. Contar lo que puede suceder con colecciones de nodos y aristas es, en cierto sentido, un caso especial de contar combinaciones de manera más general.

El año terminó con un prueba de hito por cuatro destacados matemáticos de una conjetura de larga data que relaciona la combinatoria con la estructura algebraica de conjuntos.

En febrero, dos científicos informáticos, Zander Kelley y Raghu Meka, sorprendieron a los matemáticos con la noticia de un avance inesperado en una vieja cuestión de combinatoria: ¿cuántos números enteros se pueden arrojar en un cubo asegurándose de que no haya tres de ellos? ¿Forman una progresión espaciada uniformemente (como 3, 8 y 13 o 101, 201 y 301)? Kelley y Meka destrozaron un límite superior de larga data sobre el número de números enteros menores que algún límite N que podría ponerse en el cubo sin crear tal patrón.

El mes anterior, Kevin Hartnett informó sobre un artículo de noviembre de 2022 escrito por otro extraño: un investigador de Google llamado justin gilmer que había dejado las matemáticas años antes, pero nunca había dejado de pensar en un problema combinatorio llamado conjetura de unión cerrada. Esta conjetura se refiere a familias de conjuntos como {1}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}. Esta familia es “unión cerrada” porque si combina dos conjuntos cualesquiera en la familia, la combinación también está en la familia. La conjetura, que Gilmer demostró, dice que si una familia tiene uniones cerradas, debe tener al menos un número que aparezca al menos en la mitad de los conjuntos. Gilmer utilizó un argumento extraído de la teoría de la información que se basaba en elegir aleatoriamente dos conjuntos de una familia con unión cerrada que cumplieran ciertas características. Su argumento es otro ejemplo más de cómo se puede utilizar la aleatoriedad como herramienta para inferir la existencia de una estructura.

Por el contrario, un Artículo de abril de Kevin Hartnett describió un caso en el que sorprendentemente resultan posibles estructuras intrincadas pero simples. Bernardo Subercaseaux y Marijn Heule demostraron que es posible llenar una cuadrícula infinita con números de tal manera que la distancia entre dos apariciones del mismo número debe ser mayor que el número mismo, usando solo los números entre 1 y 15.

Y desde hace mucho tiempo ¿Cuánto La colaboradora Erica Klarreich escribió sobre la sorprendente prevalencia de los llamados dados intransitivos. Estos son, por ejemplo, conjuntos de tres dados A, B y C en los que es probable que A gane (tire un número mayor que) B, es probable que B gane a C y que C gane a A. Un nuevo artículo demostró que si sólo sabes que el dado A vence al dado B y B vence a C, eso no proporciona información sobre si es probable que A o C prevalezcan en un enfrentamiento cara a cara.

Quizás más que en cualquier otra área de las matemáticas, los teóricos de los números pueden demostrar teoremas que parecen simples utilizando construcciones técnicas increíblemente complicadas. Este año, ¿Cuánto llevó a los lectores a un recorrido por algunas de esas construcciones. publicamos una explicación visual en profundidad de formas modulares, que han sido descritas como la “quinta operación fundamental” de las matemáticas, junto con la suma, la resta, la multiplicación y la división. Y llevamos a los lectores a un recorrido histórico de la reciprocidad cuadrática, una de las herramientas más poderosas de la teoría de números. El explicador de formas modulares se inspiró en un artículo sobre los llamados formas modulares de no congruencia - un tipo de función menos estudiado que, sin embargo, tiene importantes implicaciones para la física.

Max Levy, quien escribió el libro explicativo de la reciprocidad cuadrática, se interesó en el tema mientras informaba sobre un sorprendente descubrimiento de verano sobre patrones que pueden formar los círculos. Levy contó cómo dos estudiantes que trabajaban en un proyecto de investigación de verano ayudaron a refutar una conjetura de larga data sobre cómo los círculos pueden anidarse armoniosamente, llamada conjetura de lo local a lo global. Fue uno de los muchos avances de este año que mostraron la creciente utilidad de las herramientas computacionales en matemáticas. Los estudiantes y sus coautores encontraron primero evidencia de que la conjetura era falsa al estudiar minuciosamente los diagramas generados por computadora que habían creado en un esfuerzo por verla en funcionamiento.

Las formas modulares están estrechamente relacionadas con las curvas elípticas: funciones suaves de dos variables donde una variable está al cuadrado y la otra al cubo. (Las funciones también satisfacen algunas restricciones matemáticas particulares.) La relación entre las dos fue fundamental para la demostración de Andrew Wiles en 1994 del último teorema de Fermat. Hartnett escribió sobre avances en la comprensión de los investigadores de esa relación para curvas elípticas que se definen con variables extraídas de campos cuadráticos imaginarios: números de la forma a + b $látex sqrt{-5}$ donde a y b Ambos son números racionales o fracciones.

También escribió sobre un obra maestra tan esperada — un manuscrito de 451 páginas del medallista Fields Akshay Venkatesh, junto con Yiannis Sakellaridis y David Ben-Zvi, que elabora más conexiones entre objetos relacionados con formas modulares y L-funciones, un tipo importante de suma infinita con una profunda relación con los números primos.

Los teóricos de los números prestan especial atención a los números primos y a las formas sutiles y hermosas en que se distribuyen entre los demás números enteros. Curiosamente, si los consideras hasta el infinito, se sabe desde hace mucho tiempo que los números primos dejan un número igual de restos cuando se dividen por algún número; por ejemplo, si divides todos los números primos entre 5, obtendrás números iguales de los restos 1, 2, 3 y 4. Pero los matemáticos siguen esforzándose por demostrar resultados sobre la rapidez con la que los primos se igualan. En octubre informamos sobre una nueva generación de matemáticos Demostrar teoremas sobre las formas en que se distribuyen los números primos.

También presentamos (y reintrodujimos) un divertido juego matemático llamado hipersaltos que explora la tensión entre estructura y aleatoriedad desafiando a los jugadores a crear secuencias simples de números usando aritmética básica.

También fue un año emocionante en geometría. El resultado que más llamó la atención del año fue el descubrimiento de un nuevo tipo de azulejo que cubre el avión en un patrón que nunca se repite. Una combinación de dos fichas que hace esto se conoce desde la década de 1970, pero la ficha única, descubierta por un aficionado llamado David Smith y anunciada en marzo, fue una sensación. Los fanáticos usaron el diseño simple como cortador de galletas y lo cosieron en colchas. Seguimos nuestra cobertura informativa con un visión de conjunto explicando algunas de las matemáticas subyacentes y otra dando una breve historia del mosaico.

Hablando de agujas, también fue un año de avances en la conjetura de Kakeya, que pregunta qué tan pequeño volumen de espacio puede ocupar una aguja idealizada mientras gira en todas direcciones. una nueva prueba de un caso especial de la conjetura (llamada conjetura “pegajosa” de Kakeya) proporciona evidencia sólida de que la conjetura más general es cierta.

La conjetura resulta tener implicaciones no sólo para la geometría, sino también para el análisis armónico y el estudio de ecuaciones diferenciales parciales. A explicador de seguimiento examina esas implicaciones. y un Academia cuantificada visión de conjuntolleva a los lectores a través de la lógica subyacente de la conjetura.

En otras noticias de geometría, una idea de larga data sobre mapas entre esferas de diferente dimensionalidad, llamada la conjetura del telescopio, se demostró que era falso. Se descubrieron tipos particulares de estructuras de contacto (patrones de planos que satisfacen ciertas propiedades matemáticas) que durante mucho tiempo se habían considerado imposibles. existir.

Nos entrevistamos emmy murphy, un geómetra que estudia este tipo de estructuras de contacto. Murphy describe la geometría de contacto (y su hermana, la geometría simpléctica) como si existiera en medio de un espectro de rigidez y flexibilidad. En la geometría rígida, mucho depende, dijo, de mediciones precisas, mientras que la geometría flexible tiende a parecerse al álgebra. Pero en el medio, dijo, es donde “el pensamiento visual es más útil”.

En enero, el matemático Assaf Naor y el informático Oded Regev demostró la existencia de los llamados cubos esféricos. Se trata de objetos cuya superficie crece lentamente (al igual que la superficie de las esferas en dimensiones superiores), pero que pueden llenar completamente el espacio como lo hacen los cubos.

Uno de los geómetras más destacados del siglo XX, Eugenio Calabi, murió a la edad de 100 el 25 de septiembre. Jerry Kazdan, uno de sus colegas de toda la vida, dijo que Calabi “haría preguntas interesantes en las que nadie más estaba pensando”. Nuestro obituario de Calabi explora esas cuestiones, centrándose particularmente en su descubrimiento más conocido, las variedades de Calabi-Yau, que más tarde se volvieron fundamentales para la teoría de cuerdas en física.

Hablando de física, también publicamos varios resultados nuevos sobre las matemáticas de los agujeros negros, un tema favorito del escritor colaborador Steve Nadis. Escribió sobre un nuevo artículo que encontró un numero infinito de diferentes formas de agujeros negros en dimensiones superiores, y otro artículo que aclara las matemáticas del límites de los agujeros negros.

En abril, describimos cómo los matemáticos se están asociando con los físicos para comprender nuevos tipos de simetrías en teorías cuánticas de campos.

Kathryn Mann y Thomas Barthelmé, junto con Steven Frankel, publicaron un serie de papeles caracterizando sistemas dinámicos llamados flujos de Anosov que equilibran el caos y la estabilidad. En cualquier punto dado, los flujos convergen en una dirección y divergen en otra.

Y en lo que podría ser el artículo de matemáticas más inquietante del año, relatamos la noticia de un serie de tres artículos de Marcel Guàrdia, Jacques Fejoz y Andrew Clarke que muestran que las órbitas planetarias en un modelo de sistema solar siempre serán inestables. La buena noticia es que su modelo es bastante diferente a nuestro sistema solar, aunque Clarke cree que aquí también pueden existir inestabilidades similares.

Pero si lo hacen, no sacarán ninguno de los planetas de sus órbitas en el corto plazo, por lo que puede esperar otro año de cobertura matemática de ¿Cuánto en el 2024.