Claire Voisin tardó mucho en enamorarse de las matemáticas.

Eso no quiere decir que alguna vez le disgustara el tema. Al crecer en Francia (la décima de 10 hijos), disfrutaba pasar horas resolviendo problemas de matemáticas con su padre, un ingeniero. Cuando cumplió 12 años, había comenzado a leer sola un libro de texto de álgebra de la escuela secundaria, fascinada por las definiciones y demostraciones descritas en sus páginas. “Había toda esta estructura”, dijo. "El álgebra es realmente una teoría de estructuras".

Pero ella no veía las matemáticas como una vocación para toda la vida. No fue hasta sus años universitarios que reconoció lo profundo y hermoso que podía ser y que era capaz de hacer nuevos descubrimientos. Hasta entonces, además de las matemáticas, se dedicó seriamente a varios intereses: filosofía, pintura y poesía. (“Cuando tenía 20 años, creo que solo hacía matemáticas y pintura. Quizás eso fue un poco excesivo”, se rió). Cuando tenía poco más de 20 años, las matemáticas habían subsumido todo lo demás. Pero la pintura y la poesía siguieron influyéndola. Ella ve las matemáticas como un arte y como una forma de superar y jugar con los límites mismos del lenguaje.

Décadas más tarde, tras convertirse en un líder en el campo de la geometría algebraica, Voisin ha vuelto a encontrar tiempo para pintar y realizar esculturas de arcilla. Aun así, las matemáticas siguen ocupando la mayor parte de su atención; prefiere dedicar su tiempo a explorar este “mundo diferente” donde “es como si estuvieras soñando”.

Voisin es investigador principal del Centro Nacional Francés de Investigación Científica en París. Allí, estudia variedades algebraicas, que pueden considerarse como formas definidas por conjuntos de ecuaciones polinomiales, de la misma manera que un círculo se define mediante el polinomio. x² + y² = 1. Es una de las principales expertas del mundo en la teoría de Hodge, un conjunto de herramientas que los matemáticos utilizan para estudiar propiedades clave de las variedades algebraicas.

Voisin ha ganado una gran cantidad de premios por su trabajo, incluido el Premio Clay de Investigación en 2008, el Premio Heinz Hopf en 2015 y el Premio Shaw de Matemáticas en 2017. En enero, se convirtió en la primera mujer en recibir el Premio Crafoord en Matemáticas.

¿Cuánto habló con Voisin sobre la naturaleza creativa de las matemáticas. La entrevista ha sido condensada y editada para mayor claridad.

Disfrutabas las matemáticas cuando eras niño, pero no te veías dedicándote a ellas. ¿Por qué no?

Existe la magia de una prueba: la emoción que sientes cuando la comprendes, cuando te das cuenta de lo fuerte que es y de lo fuerte que te hace a ti. Cuando era niño ya podía ver esto. Y disfruté de la concentración que requieren las matemáticas. Es algo que, a medida que envejezco, encuentro cada vez más central en la práctica de las matemáticas. El resto del mundo desaparece. Todo tu cerebro existe para estudiar un problema. Es una experiencia extraordinaria, muy importante para mí: dejar el mundo de las cosas prácticas para habitar un mundo diferente. Quizás por eso a mi hijo le gusta tanto jugar videojuegos.

Pero lo que me hizo llegar tarde a las matemáticas, en cierto sentido, es que no me interesan en absoluto los juegos. No es para mi. Y en la escuela secundaria, las matemáticas parecían un juego. Fue difícil para mí tomarlo en serio. Al principio no vi las profundidades de las matemáticas. Incluso cuando comencé a descubrir pruebas y teoremas muy interesantes después de la secundaria, en ningún momento pensé que podría inventar algo por mí mismo, que podría hacerlo mío.

Necesitaba algo más profundo, más serio, algo que pudiera hacer mío.

Antes de encontrar eso en matemáticas, ¿dónde lo buscabas?

Disfruté de la filosofía y su insistencia en la noción de concepto. Además, hasta los 22 años dediqué mucho tiempo a pintar, especialmente piezas figurativas inspiradas en la geometría. Y me gustaba mucho la poesía, la obra de Mallarmé, Baudelaire, René Char. Ya estaba viviendo en una especie de mundo diferente. Pero creo que eso es normal cuando eres más joven.

Pero las matemáticas adquirieron cada vez más importancia. Realmente requiere todo tu cerebro. Cuando no estás en tu escritorio trabajando en un problema específico, tu mente todavía está ocupada. Entonces, cuanto más hacía matemáticas, menos pintaba. Hace poco que comencé a pintar de nuevo, ahora que todos mis hijos se han ido de casa y tengo mucho más tiempo.

¿Qué te hizo decidir finalmente dedicar la mayor parte de tu energía creativa a las matemáticas?

Las matemáticas se volvieron cada vez más interesantes para mí. Como maestría y doctorado. Estudiante, descubrí que las matemáticas del siglo XX eran algo muy profundo y extraordinario. Era un mundo de ideas y conceptos. En geometría algebraica, se produjo la famosa revolución liderada por Alexander Grothendieck. Incluso antes de Grothendieck, se obtuvieron resultados increíbles. Así que es un campo reciente, con ideas hermosas pero también extremadamente poderosas. La teoría de Hodge, que estudio, fue parte de eso.

Cada vez estaba más claro que mi vida estaba ahí. Por supuesto, tenía una vida familiar (un esposo y cinco hijos) y otros deberes y actividades. Pero me di cuenta de que con las matemáticas podía crear algo. Podría dedicar mi vida a ello, porque era tan hermoso, tan espectacular, tan interesante.

Has escrito antes sobre cómo las matemáticas son un esfuerzo creativo.

Soy matemático profesional, por lo que mi jornada laboral se organiza oficialmente en torno a las matemáticas. Me siento en un escritorio; Trabajo en una computadora. Pero la mayor parte de mi actividad matemática no ocurre durante ese tiempo. Necesitas una nueva idea, una buena definición, una declaración que creas que podrás explotar. Sólo entonces podrá comenzar su trabajo. Y eso no sucede cuando estoy en mi escritorio. Necesito seguir mi mente, mantenerme pensando.

Parece que las matemáticas son profundamente personales para ti. ¿Has descubierto algo sobre ti mismo en el proceso?

Al hacer matemáticas, la mayor parte del tiempo tengo que luchar contra mí mismo, porque soy muy desordenado, no soy muy disciplinado y también tiendo a deprimirme. No lo encuentro fácil. Pero lo que descubrí es que en algunos momentos, como por la mañana durante el desayuno, o cuando camino por las calles de París o hago algo sin sentido como limpiar, mi cerebro comienza a trabajar por sí solo. Me doy cuenta de que estoy pensando en matemáticas, sin haberlo pretendido. Es como si estuvieras soñando. Tengo 62 años y no tengo ningún método real para hacer buenas matemáticas: todavía espero más o menos el momento en que encuentre algo de inspiración.

Trabajas con objetos muy abstractos, con espacios de alta dimensión, con estructuras que satisfacen ecuaciones complicadas. ¿Cómo piensas acerca de un mundo tan abstracto?

En realidad, no es tan difícil. La definición más abstracta, una vez que uno se familiariza con ella, ya no lo es. Es como una montaña hermosa que se ve muy bien, porque el aire es muy claro y hay luz que te deja ver todos los detalles. Para nosotros, los objetos matemáticos que estudiamos parecen concretos porque los conocemos mucho mejor que cualquier otra cosa.

Por supuesto, hay muchas cosas que demostrar, y cuando empiezas a aprender algo, puedes sufrir debido a la abstracción. Pero cuando utilizas una teoría (porque comprendes los teoremas), de hecho te sientes muy cerca de los objetos en cuestión, incluso si son abstractos. Al aprender sobre los objetos, manipularlos y utilizarlos en argumentos matemáticos, finalmente se convierten en tus amigos.

¿Y esto exige también verlos desde diferentes puntos de vista?

Originalmente no estudié geometría algebraica. Trabajé en geometría analítica y diferencial compleja. En geometría analítica, se estudia una clase mucho más amplia de funciones y las formas definidas localmente por esas funciones. No suelen tener una ecuación global, a diferencia de la geometría algebraica.

Al principio no presté demasiada atención al punto de vista algebraico. Pero cuanto mayor me hago y más trabajo en esta área, más veo la necesidad de tener estos dos lenguajes diferentes.

Hay un teorema increíble, llamado GAGA, que es un poco broma; significa "senil" en francés, pero también significa geometría algébrique y geometría analítica. Dice que puedes pasar de un idioma a otro. Puede hacer un cálculo en geometría analítica compleja si le resulta más fácil y luego volver a la geometría algebraica.

Otras veces, la geometría algebraica te brinda la posibilidad de estudiar una versión diferente de un problema que puede dar resultados extraordinarios. He trabajado para comprender la geometría algebraica en su conjunto, en lugar de centrarme únicamente en el lado de la geometría compleja.

Es interesante que pienses en estos como lenguajes matemáticos diferentes.

El lenguaje es esencial. Antes de las matemáticas, está el lenguaje. Mucha lógica ya está dentro del lenguaje. Tenemos todas estas reglas lógicas en matemáticas: cuantificadores, negaciones, paréntesis para indicar el orden correcto de las operaciones. Pero es importante darse cuenta de que todas estas reglas que son vitales para los matemáticos ya están en nuestro lenguaje cotidiano.

Se podría comparar un teorema matemático con un poema. Está escrito en palabras. Es un producto del lenguaje. Sólo tenemos nuestros objetos matemáticos porque usamos el lenguaje, porque usamos palabras cotidianas y les damos un significado específico. Entonces se puede comparar la poesía y las matemáticas, en el sentido de que ambas dependen completamente del lenguaje pero aun así crean algo nuevo.

Te atrajeron las matemáticas debido a la revolución de Grothendieck en la geometría algebraica. Básicamente, creó un nuevo lenguaje para hacer este tipo de matemáticas.

Derecha.

¿Hay formas en las que el lenguaje matemático que estás usando ahora podría necesitar cambiar?

Los matemáticos reelaboran constantemente su lenguaje. Es una lástima, porque dificulta bastante la lectura de los artículos antiguos. Pero reelaboramos las matemáticas pasadas porque las entendemos mejor. Nos proporciona una mejor manera de escribir y demostrar teoremas. Este fue el caso de Grothendieck, con su aplicación de la cohomología de la gavilla a la geometría. Es realmente espectacular.

Es importante familiarizarse con el objeto que estudias, hasta el punto que para ti sea como tu lengua materna. Cuando una teoría comienza a formarse, se necesita tiempo para encontrar las definiciones correctas y simplificarlo todo. O tal vez todavía sea muy complicado, pero nos familiarizamos mucho más con las definiciones y los objetos; se vuelve más natural usarlos.

Es una evolución continua. Constantemente tenemos que reescribir y simplificar, teorizar sobre lo que es importante, sobre qué herramientas poner a disposición.

¿Has tenido que introducir nuevas definiciones en tu trabajo?

A veces. En trabajo que hice János Kollár, hubo un punto de inflexión en el que finalmente pudimos encontrar la visión correcta del problema: a través de una determinada definición. Este era un problema muy clásico y trabajamos con herramientas clásicas, pero nuestra prueba en realidad se basó en esta definición que establecimos.

En otro caso, Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, emanuele macrì y demostré ser un buen resultado de clasificación sobre objetos llamados variedades hiper-Kähler. Y el punto de partida de esa prueba fue la introducción de una invariante, que originalmente llamamos "a."[Risas.]

Quizás subestimes la importancia de las definiciones en matemáticas, pero no deberías hacerlo.

Las definiciones y el lenguaje no son las únicas fuerzas rectoras en las matemáticas. También lo son las conjeturas, que podrían ser ciertas o no. Por ejemplo, has trabajado mucho en la conjetura de Hodge, un problema del milenio de Clay cuya solución viene con un Recompensa de $ 1 millón.

Digamos que tienes una variedad algebraica que quieres entender. Así que vamos al lado de la geometría analítica compleja y la consideramos como lo que se conoce como una variedad compleja. Se puede pensar en una variedad compleja en términos de su forma global o topología. Hay un objeto, llamado homología, que proporciona mucha información topológica sobre la variedad. Pero no es tan fácil de definir.

Ahora considere subvariedades algebraicas dentro de su variedad original. Cada uno tendrá una invariante topológica, cierta información topológica asociada a él. ¿Qué parte de la homología de la variedad compleja se puede obtener observando estos invariantes topológicos?

La conjetura de Hodge da una respuesta específica. Y la respuesta es muy sutil.

Entonces, ¿los matemáticos no están seguros de si la conjetura de Hodge terminará siendo verdadera o falsa?

Quieres creer en la conjetura de Hodge, porque es una guía en las principales teorías de la geometría algebraica.

Realmente le gustaría comprender las principales propiedades de una variedad algebraica. Y si la conjetura de Hodge es cierta, eso le daría un control increíble de la geometría de su variedad. Obtendrías información muy importante sobre la estructura de las variedades.

Hay algunas razones poderosas para creer en ello. Se conocen casos particulares de la conjetura de Hodge. Y hay muchas afirmaciones profundas sobre las variedades algebraicas que insinúan que la conjetura de Hodge es cierta.

Pero ha habido una falta casi total de progreso para demostrarlo. También demostré que no hay manera de extender la conjetura de Hodge a otro escenario donde parezca natural. Eso fue un poco impactante.

Después de décadas trabajando como matemático, ¿sientes que ahora estás haciendo matemáticas aún más profundamente?

Ahora que soy mayor, tengo mucho más tiempo para dedicar mi energía a las matemáticas, para estar realmente presente en ellas. También tengo una mejor capacidad para ir de aquí para allá. En el pasado, tal vez porque tenía menos tiempo, tenía menos movilidad, aunque ser demasiado móvil, simplemente tocar problemas sin apegarme a ellos, tampoco es bueno. Ahora tengo más experiencia y puedo crear mi propia imagen.

Tienes una imagen mucho mejor de lo que no sabes, de los problemas abiertos. Tienes una vista detallada de tu campo y sus límites. Tiene que haber algunos aspectos buenos al envejecer. Y todavía hay mucho por hacer.