En matemáticas, un problema simple muchas veces no es lo que parece. A principios de este verano, ¿Cuánto informó sobre uno de esos problemas: ¿Cuál es el área más pequeña que puedes barrer mientras giras una aguja infinitamente delgada en todas las direcciones posibles? Gírelo alrededor de su centro como un dial y obtendrá un círculo. Pero gírelo de manera más inteligente y podrá cubrir una fracción arbitrariamente pequeña del espacio. Si no necesita que la aguja se mueva con un movimiento continuo y, en su lugar, simplemente coloque una aguja en cada dirección, puede construir una disposición de agujas que no cubra ningún área.

Los matemáticos llaman a estos arreglos conjuntos de Kakeya. Si bien saben que estos conjuntos pueden ser pequeños en términos de área (o volumen, si colocas las agujas en tres o más dimensiones), creen que los conjuntos siempre deben ser grandes si su tamaño se mide mediante una métrica llamada Hausdorff. dimensión.

Los matemáticos aún tienen que demostrar esta afirmación, conocida como la conjetura de Kakeya. Pero si bien aparentemente se trata de una pregunta simple sobre agujas, "la geometría de estos conjuntos de Kakeya sustenta una gran cantidad de preguntas en ecuaciones diferenciales parciales, análisis armónicos y otras áreas", dijo jonathan hickman de la Universidad de Edimburgo.

La conjetura de Kakeya se encuentra en la base de una jerarquía de tres problemas centrales en el análisis armónico, una rama de las matemáticas que estudia cómo las funciones pueden representarse como sumas de funciones periódicas, como ondas sinusoidales que oscilan regularmente.

El siguiente paso en esa jerarquía es la conjetura de la “restricción”. Si es cierta, también lo es la conjetura de Kakeya. (Esto también significa que si la conjetura de Kakeya resulta ser falsa, la conjetura de restricción no puede ser verdadera). La conjetura de restricción, a su vez, está implícita en la llamada conjetura de Bochner-Riesz. Y en lo más alto se encuentra la conjetura del suavizamiento local.

Las dos primeras conjeturas tratan del comportamiento de la transformada de Fourier, una técnica de análisis armónico para, de hecho, calcular cómo expresar casi cualquier función como una suma de ondas sinusoidales. Es una de las herramientas matemáticas más poderosas disponibles para físicos e ingenieros. La transformada de Fourier ha desempeñado un papel fundamental en la resolución de ecuaciones diferenciales, la expresión de ideas de la mecánica cuántica como el principio de incertidumbre de Heisenberg y el análisis y procesamiento de señales, haciendo posibles cosas como los teléfonos móviles modernos.

Dado que cada afirmación en la jerarquía implica la que está debajo, si la conjetura de Kakeya es falsa, ninguna de las otras conjeturas es verdadera. Toda la torre se derrumbará. "Se puede crear un contraejemplo de súper monstruo que rompería muchas conjeturas", dijo Hickman.

Por otro lado, demostrar que la conjetura de Kakeya es verdadera no implicaría automáticamente la verdad de esas otras conjeturas, pero daría a los matemáticos ideas importantes sobre cómo proceder.

Y así, “casi la mitad de la comunidad de análisis armónicos que conozco está trabajando en este y problemas relacionados, o ha trabajado en ellos en algún momento”, dijo shaoming guo de la Universidad de Wisconsin, Madison.

Más recientemente, los matemáticos han descubierto, para su sorpresa, que las técnicas que han desarrollado para abordar estos problemas también pueden usarse para demostrar resultados importantes en el campo aparentemente no relacionado de la teoría de números. "Es un fenómeno mucho más general de lo que la gente pensaba", dijo Guo.

Layer Cake

La historia comienza con la transformada de Fourier. "Hay que descomponer [las funciones] en partes pequeñas, analizar sus interacciones y volver a unirlas", dijo Yumeng Ou de la Universidad de Pensilvania. Para funciones unidimensionales (curvas que se pueden trazar en una hoja de papel), los matemáticos saben bien cómo hacer esto, incluso cuando necesitan invertir la transformada de Fourier usando solo algunas de las piezas.

Pero en dos o más dimensiones, las cosas pueden complicarse.

En 1971, charlie fefferman, matemático de la Universidad de Princeton, descubrió cómo utilizar conjuntos de Kakeya para demostrar que invertir la transformada de Fourier puede conducir a resultados extraños y sorprendentes en múltiples dimensiones.

Los matemáticos encontraron una solución en la forma de la conjetura de Bochner-Riesz, que esencialmente establece que hay formas más sofisticadas de recuperar la función original que no se descomponen como en el ejemplo de Fefferman. Pero esa solución dependía de la veracidad de la conjetura de Kakeya.

Si es cierto, "truncar las frecuencias sólo conducirá a pequeños errores", dijo Betsy Stovall de la Universidad de Wisconsin, Madison. "Esto significa que los pequeños errores no explotan".

Así comenzó la jerarquía. Más tarde, los matemáticos descubrieron otra conexión importante: si era cierta, la conjetura de Bochner-Riesz también implicaba una afirmación llamada conjetura de restricción. Esta conjetura establece que si comienzas con una versión limitada de la transformada de Fourier – “restringiendo” los valores que observas sólo a aquellos que viven en superficies particulares – esto aún puede brindarte información importante sobre la función original. Y resultó que si la conjetura de restricción era cierta, también lo era la conjetura de Kakeya. (Esto colocó la conjetura de restricción entre Kakeya y Bochner-Riesz en la torre).

El problema supremo de la jerarquía, llamado conjetura de suavizado local, no trata directamente con la transformada de Fourier, sino que pone límites al tamaño de las soluciones de las ecuaciones que describen el comportamiento de las ondas.

También puedes pensar en esto en términos de la geometría de las líneas en un conjunto de Kakeya. Puedes dividir una solución general de la ecuación de onda en un montón de piezas que se mueven en diferentes direcciones e interactúan entre sí de diferentes maneras a lo largo del tiempo. Cada una de esas piezas se parece matemáticamente a una aguja en un conjunto de Kakeya. La conjetura de Kakeya afirma que tal configuración no puede superponerse demasiado. En este contexto físico, las superposiciones corresponderían a la persistencia de comportamientos irregulares e inesperados en la solución. Por ejemplo, una onda sonora podría amplificarse en muchas regiones en muchos momentos diferentes.

La conjetura del suavizamiento local establece que tales irregularidades deberían promediarse. "Es como tomar el promedio del mercado financiero", dijo Ciprián Deméter de la Universidad de Indiana Bloomington. "Podría haber crisis aquí y allá, pero si inviertes tu dinero y te jubilas dentro de 40 años, hay muchas posibilidades de que consigas buenas inversiones".

Pero como ocurre con todas las conjeturas de la jerarquía, eso depende de la verdad de la conjetura de Kakeya. "La idea es que si descartas muchas intersecciones en conjuntos de Kakeya, eso significa que puedes descartar estas situaciones en las que partes de tu solución conspiran juntas para crear algún tipo de explosión", dijo Stovall.

Esta conjetura es la más difícil de todas: mientras que los casos bidimensionales de los problemas de Kakeya, de restricción y de Bochner-Riesz se resolvieron hace décadas, la conjetura del suavizamiento local bidimensional se demostró sólo hace unos años. (En dimensiones superiores, todos estos problemas permanecen abiertos).

Pero a pesar del lento progreso en la demostración de la conjetura del suavizamiento local, el trabajo sobre ella ha llevado a enormes avances en otros lugares. En 1999, mientras intentaba abordar la conjetura, el matemático Thomas Wolff introdujo un método conocido como desacoplamiento. Desde entonces, esa técnica ha cobrado vida propia: se ha utilizado para lograr importantes avances no sólo en el análisis armónico, sino también en la teoría de números, la geometría y otras áreas. "Utilizando los resultados del desacoplamiento, ahora se tienen récords mundiales en problemas muy famosos e importantes", dijo Christopher Sogge de la Universidad Johns Hopkins, quien formuló por primera vez la conjetura del suavizamiento local en la década de 1990. Por ejemplo, el desacoplamiento se ha utilizado para ayudar a contar de cuántas maneras se puede representar un número entero como la suma de cuadrados, cubos o alguna otra potencia.

Como dijo Demeter, estos resultados son posibles porque "podemos considerar los números como ondas". Que todos estos problemas se relacionen con los juegos de agujas Kakeya "es fascinante", añadió. "No crees que se pueda esconder tanta belleza, dificultad e importancia en algo que se puede formular utilizando segmentos de línea".