Si desea colocar baldosas en el piso del baño, las baldosas cuadradas son la opción más sencilla: encajan sin espacios en un patrón de cuadrícula que puede continuar indefinidamente. Esa cuadrícula cuadrada tiene una propiedad compartida por muchos otros mosaicos: cambia toda la cuadrícula en una cantidad fija y el patrón resultante es indistinguible del original. Pero para muchos matemáticos, estos mosaicos “periódicos” son aburridos. Si has visto un pequeño parche, lo has visto todo.

En la década de 1960, los matemáticos comenzaron a estudiar conjuntos de mosaicos “aperiódicos” con un comportamiento mucho más rico. Quizás el más famoso sea un par de azulejos con forma de diamante descubiertos en la década de 1970 por el físico polimático y futuro premio Nobel. Roger Penrose. Las copias de estos dos mosaicos pueden formar infinitos patrones diferentes que duran para siempre, llamados mosaicos de Penrose. Sin embargo, no importa cómo coloques los mosaicos, nunca obtendrás un patrón que se repita periódicamente.

"Estas son cosas que realmente no deberían existir", dijo Nicolás Breuckmann, físico de la Universidad de Bristol.

Durante más de medio siglo, los mosaicos aperiódicos han fascinado a matemáticos, aficionados e investigadores de muchos otros campos. Ahora, dos físicos han descubierto una conexión entre los mosaicos aperiódicos y una rama aparentemente no relacionada de la informática: el estudio de cómo las futuras computadoras cuánticas pueden codificar información para protegerlo de errores. En una Publicado en el servidor de preimpresión arxiv.org en noviembre, los investigadores mostraron cómo transformar los mosaicos de Penrose en un tipo completamente nuevo de código cuántico de corrección de errores. También construyeron códigos similares basados ​​en otros dos tipos de mosaicos aperiódicos.

En el centro de la correspondencia hay una simple observación: tanto en los mosaicos aperiódicos como en los códigos cuánticos de corrección de errores, aprender sobre una pequeña parte de un sistema grande no revela nada sobre el sistema en su conjunto.

"Es una de esas cosas hermosas que parecen obvias en retrospectiva", dijo Toby Cubito, investigador de información cuántica del University College de Londres. “Dices: '¿Por qué no pensé en eso?'”

Conocimiento prohibido

Las computadoras comunes representan información usando bits con dos estados distintos, etiquetados 0 y 1. Los bits cuánticos, o qubits, también tienen dos estados, pero también pueden ser persuadidos a las llamadas superposiciones en las que sus estados 0 y 1 coexisten. Aprovechando superposiciones más elaboradas que involucran muchos qubits, computadoras cuánticas puede realizar ciertos cálculos mucho más rápido que cualquier máquina convencional.

Sin embargo, las superposiciones cuánticas son criaturas asustadizas. Mida un qubit en un estado de superposición y colapsará a 0 o 1, eliminando cualquier cálculo en progreso. Para empeorar las cosas, los errores derivados de interacciones débiles entre los qubits y su entorno pueden imitar los efectos destructivos de la medición. Cualquier cosa que moleste a un qubit, ya sea un investigador entrometido o un fotón perdido, puede arruinar el cálculo.

Esta extrema fragilidad podría hacer que la computación cuántica parezca desesperada. Pero en 1995, el matemático aplicado Peter Shor descubierto CRISPR una forma inteligente de almacenar información cuántica. Su codificación tenía dos propiedades clave. En primer lugar, podía tolerar errores que sólo afectaban a qubits individuales. En segundo lugar, venía con un procedimiento para corregir los errores a medida que se producían, evitando que se acumularan y descarrilaran un cálculo. El descubrimiento de Shor fue el primer ejemplo de un código cuántico de corrección de errores, y sus dos propiedades clave son las características definitorias de todos esos códigos.

La primera propiedad surge de un principio simple: la información secreta es menos vulnerable cuando se divide. Las redes de espionaje emplean una estrategia similar. Cada espía sabe muy poco sobre la red en su conjunto, por lo que la organización permanece segura incluso si algún individuo es capturado. Pero los códigos cuánticos de corrección de errores llevan esta lógica al extremo. En una red de espías cuánticos, ningún espía sabría nada en absoluto, pero juntos sabrían mucho.

Cada código de corrección de errores cuánticos es una receta específica para distribuir información cuántica entre muchos qubits en un estado de superposición colectiva. Este procedimiento transforma efectivamente un grupo de qubits físicos en un único qubit virtual. Repita el proceso muchas veces con una gran variedad de qubits y obtendrá muchos qubits virtuales que podrá utilizar para realizar cálculos.

Los qubits físicos que componen cada qubit virtual son como esos inconscientes espías cuánticos. Mida cualquiera de ellos y no aprenderá nada sobre el estado del qubit virtual del que forma parte: una propiedad llamada indistinguibilidad local. Dado que cada qubit físico no codifica información, los errores en qubits individuales no arruinarán un cálculo. La información que importa está de alguna manera en todas partes, pero en ninguna en particular.

"No se puede precisar a ningún qubit individual", dijo Cubitt.

Todos los códigos cuánticos de corrección de errores pueden absorber al menos un error sin ningún efecto sobre la información codificada, pero eventualmente todos sucumbirán a medida que los errores se acumulen. Ahí es donde entra en juego la segunda propiedad de los códigos de corrección de errores cuánticos: la corrección de errores real. Esto está estrechamente relacionado con la indistinguibilidad local: debido a que los errores en qubits individuales no destruyen ninguna información, siempre es posible revertir cualquier error utilizando procedimientos establecidos y específicos para cada código.

Tomando el pelo

zhili, un postdoctorado en el Instituto Perimeter de Física Teórica en Waterloo, Canadá, conocía bien la teoría de la corrección de errores cuánticos. Pero el tema estaba lejos de su mente cuando entabló conversación con su colega. latham boyle. Era el otoño de 2022 y los dos físicos se encontraban en un transbordador nocturno desde Waterloo a Toronto. Boyle, un experto en mosaicos aperiódicos que vivía en Toronto en ese momento y ahora está en la Universidad de Edimburgo, era una cara familiar en aquellos viajes en transbordador, que a menudo quedaban atrapados en el tráfico intenso.

"Normalmente podrían sentirse muy miserables", dijo Boyle. "Este fue el más grande de todos los tiempos".

Antes de esa fatídica noche, Li y Boyle conocían el trabajo del otro, pero sus áreas de investigación no se superponían directamente y nunca habían tenido una conversación cara a cara. Pero al igual que innumerables investigadores en campos no relacionados, Li sentía curiosidad por los mosaicos aperiódicos. "Es muy difícil no estar interesado", dijo.

El interés se convirtió en fascinación cuando Boyle mencionó una propiedad especial de los mosaicos aperiódicos: la indistinguibilidad local. En ese contexto, el término significa algo diferente. El mismo conjunto de mosaicos puede formar infinitos mosaicos que se ven completamente diferentes en general, pero es imposible distinguir dos mosaicos examinando cualquier área local. Esto se debe a que cada parche finito de cualquier mosaico, sin importar cuán grande sea, aparecerá en algún otro mosaico.

"Si te dejo caer en un mosaico u otro y te doy el resto de tu vida para explorar, nunca podrás saber si te dejo en tu mosaico o en el mío", dijo Boyle.

A Li, esto le parecía tentadoramente similar a la definición de indistinguibilidad local en la corrección de errores cuánticos. Mencionó la conexión con Boyle, quien quedó paralizado al instante. Las matemáticas subyacentes en los dos casos eran bastante diferentes, pero el parecido era demasiado intrigante para descartarlo.

Li y Boyle se preguntaron si podrían establecer una conexión más precisa entre las dos definiciones de indistinguibilidad local construyendo un código cuántico de corrección de errores basado en una clase de mosaicos aperiódicos. Siguieron hablando durante todo el viaje en transbordador de dos horas, y cuando llegaron a Toronto estaban seguros de que ese código era posible: era sólo cuestión de construir una prueba formal.

Azulejos cuánticos

Li y Boyle decidieron comenzar con los mosaicos de Penrose, que eran simples y familiares. Para transformarlos en un código de corrección de errores cuánticos, primero tendrían que definir cómo se verían los estados y errores cuánticos en este sistema inusual. Esa parte fue fácil. Un plano bidimensional infinito cubierto con mosaicos de Penrose, como una cuadrícula de qubits, se puede describir utilizando el marco matemático de la física cuántica: los estados cuánticos son mosaicos específicos en lugar de 0 y 1. Un error simplemente elimina un único parche del patrón de mosaico, de la misma manera que ciertos errores en las matrices de qubits borran el estado de cada qubit en un grupo pequeño.

El siguiente paso fue identificar configuraciones de mosaico que no se verían afectadas por errores localizados, como los estados de qubit virtuales en códigos de corrección de errores cuánticos ordinarios. La solución, como en un código normal, fue utilizar superposiciones. Una superposición cuidadosamente elegida de azulejos de Penrose se asemeja a una disposición de azulejos de baño propuesta por el decorador de interiores más indeciso del mundo. Incluso si falta una parte de ese plano desordenado, no revelará ninguna información sobre el plano general.

Para que este enfoque funcionara, Li y Boyle primero tuvieron que distinguir dos relaciones cualitativamente diferentes entre distintos mosaicos de Penrose. Dado cualquier mosaico, puede generar un número infinito de mosaicos nuevos moviéndolo en cualquier dirección o rotándolo. El conjunto de todos los mosaicos generados de esta manera se denomina clase de equivalencia.

Pero no todos los mosaicos de Penrose caen en la misma clase de equivalencia. Un mosaico en una clase de equivalencia no se puede transformar en un mosaico en otra clase mediante cualquier combinación de rotaciones y traslaciones: los dos patrones infinitos son cualitativamente diferentes, pero aún localmente indistinguibles.

Con esta distinción establecida, Li y Boyle finalmente pudieron construir un código de corrección de errores. Recordemos que en un código ordinario de corrección de errores cuánticos, un qubit virtual está codificado en superposiciones de qubits físicos. En su código basado en mosaicos, los estados análogos son superposiciones de todos los mosaicos dentro de una única clase de equivalencia. Si el plano está revestido con este tipo de superposición, existe un procedimiento para llenar los vacíos sin revelar ninguna información sobre el estado cuántico general.

"El mosaico de Penrose de alguna manera sabía acerca de la corrección de errores cuánticos antes de la invención de la computadora cuántica", dijo Boyle.

La intuición de Li y Boyle durante el viaje en autobús había sido correcta. En un nivel profundo, las dos definiciones de indistinguibilidad local eran en sí mismas indistinguibles.

Encontrar el patrón

Aunque matemáticamente bien definido, el nuevo código de Li y Boyle no era práctico. Los bordes de los mosaicos en los mosaicos de Penrose no caen a intervalos regulares, por lo que especificar su distribución requiere números reales continuos en lugar de números enteros discretos. Las computadoras cuánticas, por otro lado, suelen utilizar sistemas discretos como redes de qubits. Peor aún, los mosaicos de Penrose sólo son indistinguibles localmente en un plano infinito, lo que no se traduce bien en el mundo real finito.

“Es una conexión muy curiosa”, dijo Bárbara Terhal, investigador de computación cuántica de la Universidad Tecnológica de Delft. "Pero también es bueno bajarlo a la tierra".

Li y Boyle ya han dado un paso en esa dirección al construir otros dos códigos basados ​​en mosaicos en los que el sistema cuántico subyacente es finito en un caso y discreto en el otro. El código discreto también puede hacerse finito, pero aún quedan otros desafíos. Ambos códigos finitos sólo pueden corregir errores que están agrupados, mientras que los códigos cuánticos de corrección de errores más populares pueden manejar errores distribuidos aleatoriamente. Aún no está claro si se trata de una limitación inherente de los códigos basados ​​en mosaicos o si podría evitarse con un diseño más inteligente.

"Hay mucho trabajo de seguimiento que se puede hacer", dijo Félix Flicker, físico de la Universidad de Bristol. "Todos los buenos periódicos deberían hacer eso".

No sólo es necesario comprender mejor los detalles técnicos: el nuevo descubrimiento también plantea preguntas más fundamentales. Un siguiente paso obvio es determinar qué otros mosaicos también funcionan como códigos. El año pasado, los matemáticos descubrieron una familia de mosaicos aperiódicos que cada uno solo use un mosaico. "Sería fascinante ver cómo estos recientes desarrollos podrían conectarse con el problema de la corrección de errores cuánticos", escribió Penrose en un correo electrónico.

Otra dirección implica explorar las conexiones entre los códigos de corrección de errores cuánticos y ciertos modelos de gravedad cuántica. En una papel 2020, Boyle, Flicker y la fallecida Madeline Dickens demostraron que aparecen mosaicos aperiódicos en la geometría espacio-temporal de esos modelos. Pero esa conexión surgió de una propiedad de los mosaicos que no juega ningún papel en el trabajo de Li y Boyle. Parece que la gravedad cuántica, la corrección de errores cuánticos y los mosaicos aperiódicos son diferentes piezas de un rompecabezas cuyos contornos los investigadores apenas están comenzando a comprender. Al igual que con los mosaicos aperiódicos, descubrir cómo encajan esas piezas puede ser notablemente sutil.

"Hay raíces profundas que conectan estas cosas diferentes", dijo Flicker. "Este tentador conjunto de conexiones está pidiendo a gritos que se resuelva".