Tendemos a pensar que las matemáticas son puramente lógicas, pero la enseñanza de las matemáticas, sus valores, su utilidad y su funcionamiento están llenos de matices. Entonces, ¿qué son las “buenas” matemáticas? En 2007, el matemático terence tao escribió un ensayo para el Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas que buscaba responder a esta pregunta. Hoy en día, como ganador de una medalla Fields, un premio Breakthrough Prize en Matemáticas y una beca MacArthur, Tao es uno de los matemáticos vivos más honrados y prolíficos. En este episodio, se une a nuestro anfitrión y colega matemático. Steven Strogatz para revisar los ingredientes de las buenas matemáticas.

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Expediente académico

STEVEN STROGATZ: En octubre de 2007, cuando el iPhone de primera generación todavía era un producto de moda y el mercado de valores estaba en su punto más alto antes de la Gran Recesión, Terence Tao, profesor de matemáticas en UCLA, estaba decidido a responder una pregunta. Pregunta que se había debatido durante mucho tiempo entre los matemáticos: ¿Qué son exactamente las buenas matemáticas?

¿Se trata de rigor? ¿Elegancia? ¿Utilidad en el mundo real? Terry escribió un ensayo muy reflexivo y generoso, incluso diría que sincero, sobre todas las formas en que las matemáticas pueden ser buenas. Pero ahora, más de 15 años después, ¿necesitamos repensar qué son las buenas matemáticas?

Soy Steve Strogatz y este es "The Joy of Why", un podcast de Quanta revista donde mi copresentadora, Janna Levin, y yo nos turnamos para explorar algunas de las preguntas sin respuesta más importantes en matemáticas y ciencias actuales.

(Obras temáticas)

Hoy aquí, para revisar la eterna pregunta de qué hace que las matemáticas sean buenas, está el propio Terry Tao. El profesor Tao es autor de más de 300 artículos de investigación sobre una gama sorprendentemente amplia de matemáticas, incluido el análisis armónico, ecuaciones diferenciales parciales, combinatoria, teoría de números, ciencia de datos, matrices aleatorias y mucho más. Se le conoce como el "Mozart de las Matemáticas". Y como ganador de una medalla Fields, un premio Breakthrough Prize en Matemáticas, una beca MacArthur y muchos otros premios, ese apodo es ciertamente bien merecido.

Terry, bienvenido a "La alegría del por qué".

TERENCIA TAO: Un placer estar aquí.

STROGATZ: Estoy muy emocionado de poder hablar con usted sobre esta pregunta de qué es lo que hace que algunos tipos de investigación matemática sean buenos. Recuerdo muy vívidamente hojear el Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas allá por 2007 y encontrándome tu ensayo sobre este tema que posaste para nosotros. Es algo en lo que piensan todos los matemáticos. Pero para las personas que quizás no estén tan familiarizadas, ¿podría decirnos cómo llegó a esta pregunta? ¿Cómo definías las buenas matemáticas en aquella época?

TAO: Correcto, sí. En realidad fue una solicitud. Entonces el editor del Boletín en ese momento me había pedido que contribuyera con un artículo. Creo que cuando era estudiante tenía una idea muy ingenua de lo que eran las matemáticas. Tenía la idea de que había una especie de consejo de barbas grises que repartiría problemas para que la gente trabajara en ellos. Y fue una especie de shock para mí, como estudiante de posgrado, darme cuenta de que en realidad no existía una autoridad central para repartir los problemas y que la gente hacía investigaciones autodirigidas.

Seguí asistiendo a charlas y escuchando cómo otros matemáticos hablaban sobre lo que les apasiona y lo que les entusiasma de las matemáticas, y el hecho de que cada matemático tiene una forma diferente de abordar las matemáticas. Algunos buscarían aplicaciones, otros por una especie de belleza estética, otros simplemente por la resolución de problemas. Querían resolver un problema y se concentrarían en las tareas más difíciles y desafiantes. Algunos se centrarían en la técnica; algunos intentarían hacer las cosas lo más elegantes posible.

Pero lo que me llamó la atención cuando escuché a tantos de estos diferentes matemáticos hablar sobre lo que consideran valioso en las matemáticas es que, aunque todos teníamos ideales diferentes sobre cómo deberían ser las buenas matemáticas, todos tienden a convergen hacia lo mismo.

Si una pieza de matemáticas es realmente buena, las personas que buscan la belleza eventualmente la encontrarán. Las personas que buscan, que valoran, ya sabes, el poder técnico o las aplicaciones, eventualmente llegarán a él.

Eugene Wigner Tenía un ensayo muy famoso sobre el eficacia irrazonable de las matemáticas en las ciencias físicas hace casi un siglo, donde simplemente observó que había áreas de las matemáticas (por ejemplo, la geometría de Riemann, el estudio del espacio curvo) que inicialmente eran sólo un ejercicio puramente teórico para los matemáticos, ya sabes, tratando de demostrar la postulado paralelo y demás, resultando ser precisamente lo que Einstein, Poincaré y Hilbert necesitaban para describir las matemáticas de la relatividad general. Y eso es sólo un fenómeno que ocurre.

Así que no se trata sólo de que las matemáticas, lo que los matemáticos encuentran intelectualmente interesante termine siendo físicamente importante. Pero incluso dentro de las matemáticas, las materias que los matemáticos encuentran elegantes también proporcionan una visión profunda.

Lo que siento es que, ya sabes, existen algunas buenas matemáticas platónicas, y todos nuestros diferentes sistemas de valores son simplemente diferentes formas de acceder a esas buenas cosas objetivas.

STROGATZ: Eso es muy interesante. Como soy una especie de persona inclinada al pensamiento platónico, me siento tentado a estar de acuerdo. Aunque me sorprende un poco oírte decir eso, porque habría pensado que hacia dónde ibas inicialmente parecía que hay tantos puntos de vista diferentes sobre esto. Sin embargo, es un hecho interesante, un hecho empírico, que convergemos en estar de acuerdo sobre lo que es bueno o no, aunque, como usted dice, partimos de muchos valores diferentes.

TAO: Bien. La convergencia puede llevar tiempo. Ya sabes, definitivamente hay campos, por ejemplo, que se ven mucho mejor medidos por una métrica que por otras. Tal vez tengan muchas aplicaciones, pero su presentación es extremadamente desagradable, ¿sabes?

(Strogatz se ríe)

O cosas que son muy elegantes pero que aún no tienen muchas aplicaciones buenas en el mundo real. Pero siento que eventualmente convergerá.

STROGATZ: Bueno, déjame preguntarte sobre este punto de contacto con el mundo real. Es una tensión interesante en matemáticas. Y, ya sabes, cuando somos niños pequeños, digamos, cuando aprendemos geometría por primera vez, en ese momento podrías pensar que los triángulos son reales, o los círculos o las líneas rectas son reales, y que pueden informarte sobre las formas rectangulares que ves. en edificios en el mundo, o que los topógrafos necesitan usar geometría. Y al fin y al cabo, la palabra proviene de la medida de la Tierra, verdad, “geometría”. Y así, hubo un tiempo en que la geometría era empírica.

Pero lo que quería preguntarte tiene que ver con un comentario que John von Neumann hecho. De modo que von Neumann, para quien no esté familiarizado con ello, era él mismo un gran matemático. Y en este ensayo hizo este comentario: “El matemático”, sobre la relación entre las matemáticas y el mundo empírico, el mundo real, donde dice aproximadamente que las ideas matemáticas se originan en lo empírico, pero que en algún momento, una vez que obtienes las ideas matemáticas, el tema comienza a tomar vida propia. propio. Y luego es más como una obra de arte creativa. Los criterios estéticos se vuelven importantes. Pero dice que eso causa peligro. Que cuando un sujeto comienza a alejarse demasiado de su fuente empírica, especialmente en su segunda o tercera generación, dice que existe la posibilidad de que el sujeto sufra demasiada endogamia abstracta y esté en peligro de degeneración.

¿Alguna idea sobre eso? Quiero decir, ¿las matemáticas tienen que permanecer en contacto con su fuente empírica?

TAO: Sí, creo que tiene que estar conectado a tierra. Cuando digo que, empíricamente, todas estas diferentes formas de hacer matemáticas convergen, es sólo porque esto sólo sucede cuando el sujeto está sano. Entonces, ya sabes, la buena noticia es que generalmente lo es.

Pero, por ejemplo, los matemáticos valoran las demostraciones cortas más que las largas, en igualdad de condiciones. Pero uno podría imaginarse a la gente exagerando y, por ejemplo, un subcampo de las matemáticas obsesionado con hacer demostraciones lo más breves posible y tener estas demostraciones de dos líneas extremadamente opacas de teoremas profundos. Y lo hacen como una especie de competencia, y luego se convierte en una especie de juego abstruso y luego pierdes toda la intuición. Quizás pierdas una comprensión más profunda porque estás tan obsesionado con hacer que todas tus pruebas sean lo más breves posible. Ahora bien, esto en realidad no sucede en la práctica. Pero éste es una especie de ejemplo teórico, y creo que von Neumann estaba planteando un punto similar.

Y en los años sesenta y setenta, hubo una era de las matemáticas en la que la abstracción estaba logrando grandes avances en la simplificación y unificación de muchas matemáticas que antes eran muy empíricas. Especialmente en álgebra, la gente se daba cuenta de que números y polinomios y muchos otros objetos que antes se trataban por separado, se podían considerar todos miembros de la misma clase algebraica, en este caso un anillo.

Y se estaban logrando muchos avances en matemáticas al encontrar la abstracción correcta, ya sabes, ya sea un espacio topológico o un espacio vectorial, lo que sea, y demostrar teoremas con gran generalidad. Y esto es a veces lo que llamamos la era Bourbaki en matemáticas. Y se alejó demasiado de estar fundamentado.

Por supuesto, tuvimos todo el episodio de las Nuevas Matemáticas en Estados Unidos, donde los educadores intentaron enseñar matemáticas al estilo Bourbaki y finalmente me di cuenta de que esa no era la pedagogía adecuada a ese nivel.

Pero ahora el péndulo ha retrocedido bastante. En cierto modo, el tema ha madurado bastante y en todos los campos de las matemáticas, la geometría, la topología, lo que sea, tenemos formalizaciones satisfactorias y sabemos cuáles son las abstracciones correctas. Y ahora el campo vuelve a centrarse en las interconexiones y aplicaciones. Ahora se está conectando mucho más con el mundo real.

Quiero decir, no solo una especie de física, que es una conexión tradicional, sino, ya sabes, ciencias de la computación, ciencias de la vida, ciencias sociales, ya sabes. Con el auge del big data, prácticamente cualquier disciplina humana puede matematizarse hasta cierto punto.

STROGATZ: Me interesa mucho la palabra que acaba de utilizar hace un minuto sobre “interconexiones”, porque parece un punto central que debemos discutir. Es algo que mencionas en tu ensayo que, junto con lo que llamas criterios “locales” sobre la elegancia, o aplicaciones en el mundo real, o lo que sea, mencionas este aspecto “global” de las buenas matemáticas: que las buenas matemáticas se conectan con otras. buenas matemáticas.

Eso es casi la clave de lo que lo hace bueno: que esté integrado con otras partes. Pero es interesante porque suena casi a un razonamiento circular: que las buenas matemáticas son las que se conectan con otras buenas matemáticas. Pero es una idea realmente poderosa y me pregunto si podrías ampliarla un poco más.

TAO: Sí, quiero decir, de qué se tratan las matemáticas: una de las cosas que hacen las matemáticas es que establecen conexiones que son muy básicas y fundamentales, pero no obvias si solo las miras desde el nivel superficial. Un ejemplo muy temprano de esto es la invención de Descartes de las coordenadas cartesianas, que estableció una conexión fundamental entre la geometría (el estudio de puntos, líneas y objetos espaciales) y los números, el álgebra.

Entonces, por ejemplo, un círculo se puede considerar como un objeto geométrico, pero también se puede considerar como una ecuación: x² + y² = 1 es la ecuación de un círculo. En ese momento, fue una conexión muy revolucionaria. Ya sabes, los antiguos griegos veían la teoría de números y la geometría como temas casi completamente inconexos.

Pero con Descartes existía esta conexión fundamental. Y ahora está interiorizado; ya sabes, la forma en que enseñamos matemáticas. Ya no sorprende que si tienes un problema geométrico, lo atacas con números. O si tienes un problema con los números, puedes atacarlo con la geometría.

En cierto modo se debe a que tanto la geometría como los números son aspectos del mismo concepto matemático. Tenemos todo un campo llamado geometría algebraica, que no es ni álgebra ni geometría, pero es una materia unificada que estudia objetos que se pueden considerar como formas geométricas, como líneas, círculos, etc., o como ecuaciones.

Pero en realidad lo que estudiamos es una unión holística de los dos. Y a medida que el tema se ha profundizado, nos hemos dado cuenta de que, de alguna manera, eso es más fundamental que el álgebra o la geometría por separado, en algunos aspectos. Entonces, estas conexiones nos están ayudando a descubrir una especie de matemática real que inicialmente, de alguna manera, nuestros estudios empíricos solo nos brindan una parte del tema.

Hay esa famosa parábola del elefante, no recuerdo dónde, que si tienes... Hay cuatro ciegos y descubren un elefante. Y uno de ellos toca la pata del elefante y piensa: “Oh, esto, es muy duro. Debe ser como un árbol o algo así”.

Y uno de ellos toca la trompa, y sólo mucho después ve que hay un único objeto elefante que explica todas sus hipótesis separadas. Sí, al principio todos estamos ciegos, ¿sabes? Simplemente estamos observando las sombras en la cueva de Platón y solo más tarde nos damos cuenta:

STROGATZ: Vaya, eres muy filosófico aquí. Esto es algo. No puedo resistirme ahora: si vas a empezar a hablar del elefante y los ciegos, esto sugiere que piensas que las matemáticas existen, que son algo así como el elefante y que nosotros somos los ciegos... O bien, Ya sabes, estamos tratando de ver algo que existe independientemente de los seres humanos. ¿Es eso realmente lo que crees?

TAO: Cuando haces buenas matemáticas, no se trata solo de mover símbolos. Sientes que hay algún objeto real que estás tratando de entender, y todas nuestras ecuaciones que tenemos son solo una especie de aproximaciones de eso, o sombras.

Se puede debatir el punto filosófico de lo que en realidad es la realidad, etc. Quiero decir, estas son cosas que realmente puedes tocar, y cuanto más reales se vuelven matemáticamente, a veces menos físicas parecen. Como dijiste, la geometría inicialmente, ya sabes, era algo muy tangible acerca de los objetos en el espacio físico que podías, ya sabes, en realidad puedes construir un círculo y un cuadrado, etc.

Pero en la geometría moderna, ya sabes, trabajamos en dimensiones superiores. Podemos hablar de geometrías discretas, todo tipo de topologías extravagantes. Y quiero decir que el tema todavía merece llamarse geometría, aunque ya no se mida la Tierra. La etimología griega antigua está muy desactualizada, pero definitivamente hay algo ahí. Si… qué tan real quieres llamarlo. Pero supongo que el punto es que, para el propósito de hacer matemáticas, ayuda creer que es real.

STROGATZ: Sí, ¿no es interesante? Lo hace. Parece que eso es algo que está muy arraigado en la historia de las matemáticas. Me llamó la atención un ensayo que Arquímedes le escribió a su amigo, o al menos a su colega, Eratóstenes.

Estamos hablando ahora, como en el año 250 a. C. Y hace el comentario: ha descubierto una manera de encontrar el área de lo que llamaríamos el segmento de una parábola. Está tomando una parábola, la corta con un segmento de línea que forma un ángulo oblicuo con respecto al eje de la parábola y calcula esta área. Obtiene un resultado muy bonito. Pero le dice algo a Eratóstenes como: "Estos resultados fueron inherentes a las cifras desde el principio". Ya sabes, están ahí. Están ahí. Sólo están esperando que él los encuentre.

No es que él los haya creado. No es como la poesía. Quiero decir, en realidad es interesante, ¿no? Que muchos grandes artistas... Miguel Ángel habló de liberar la estatua de la piedra, ya sabes, como si estuviera allí para empezar. Y parece que usted y muchos otros grandes matemáticos lo han hecho; como usted dice, es muy útil creer en esta idea, que está ahí esperándonos, esperando que las mentes adecuadas la descubran.

TAO: Bien. Bueno, creo que una manifestación de eso es que las ideas que a menudo son muy complicadas de explicar cuando se descubren por primera vez, se simplifican. Quiero decir, ya sabes, a menudo la razón por la que algo parece muy profundo o difícil al principio es que no tienes la notación correcta.

Por ejemplo, ahora tenemos notación decimal para manipular números, y es muy conveniente. Pero en el pasado, teníamos números romanos y luego había sistemas numéricos aún más primitivos con los que era muy, muy difícil trabajar si querías hacer matemáticas.

Euclides Elements, ya sabes, algunos de los argumentos de estos textos antiguos. Hay un teorema en Euclides. Elements Creo que se llama Puente de los Locos o algo así. Es como la afirmación de que creo que la afirmación es como un triángulo isósceles, los dos ángulos de la base son iguales. Esto es como una prueba de dos líneas en los textos geométricos modernos, ya sabes, con los axiomas correctos. Pero Euclides tenía esta horrenda manera de hacerlo. Y fue allí donde muchos estudiantes de geometría de la era clásica abandonaron por completo las matemáticas.

STROGATZ: Verdadero. (se ríe)

TAO: Pero, ya sabes, ahora tenemos una manera mucho mejor de hacerlo. Muy a menudo las complicaciones que vemos en las matemáticas son producto de nuestras propias limitaciones. Y, a medida que maduramos, las cosas se vuelven más simples. Y se siente más real por eso. No estamos viendo los artefactos. Estamos viendo la esencia.

STROGATZ: Bueno, volviendo a tu ensayo: cuando lo escribiste, en ese momento, quiero decir, esto fue bastante temprano en tu carrera, no el comienzo, pero aún así. ¿Por qué sentiste entonces que era importante tratar de definir qué eran las buenas matemáticas?

TAO: Creo... Entonces, en ese momento, ya estaba empezando a asesorar a estudiantes de posgrado y me di cuenta de que, ya sabes, había algunos conceptos erróneos sobre lo que es bueno y lo que no. Y también estuve hablando con matemáticos de diferentes campos, y lo que uno valoraba en matemáticas parecía diferente de los demás. Pero, aun así, de alguna manera todos estábamos estudiando el mismo tema.

Y a veces alguien decía algo que me molestaba, ya sabes, como: "Estas matemáticas no tienen aplicaciones, por lo tanto, no tienen valor". O “Esta prueba es demasiado complicada; por lo tanto no tiene valor”, o algo así. O por el contrario, ya sabes: “Esta prueba es demasiado simple; por lo tanto no vale…” Ya sabes. Había una especie de esnobismo y demás que a veces encontraba.

Y en mi experiencia, las mejores matemáticas llegaron cuando entendí un punto de vista diferente, una forma diferente de pensar sobre las matemáticas de alguien en un campo diferente y las apliqué a un problema que me importaba. Y por eso mi experiencia sobre cómo usar las matemáticas correctamente, cómo manejarlas, fue muy diferente de ésta: una especie de "única forma verdadera de hacer matemáticas".

Sentí que este punto tenía que aclararse de alguna manera. Que realmente hay una forma plural de hacer matemáticas, pero que las matemáticas siguen siendo unidas.

STROGATZ: Eso es muy revelador, porque me preguntaba, ya sabes, en mi introducción mencioné las diferentes ramas de las matemáticas que has explorado, y ni siquiera incluí algunas. Recuerdo, hace apenas unos años, su trabajo sobre este misterio en la dinámica de fluidos, sobre si ciertas ecuaciones que creemos hacen un buen trabajo al aproximar los movimientos del agua y el aire. No quiero entrar en demasiados detalles, pero solo decir, aquí estás, la gente piensa que haces teoría de números o análisis armónicos, y de repente estás trabajando en cuestiones de dinámica de fluidos. Quiero decir, me doy cuenta de que son ecuaciones diferenciales parciales. Pero aún así, su amplitud de interés parece estar relacionada con su amplitud de aceptación de diferentes conocimientos, diferentes ideas valiosas de todas las diferentes formas de hacer buenas matemáticas.

TAO: No recuerdo quién lo dijo, pero hay dos tipos de matemáticos. Hay erizos y zorros. Un zorro es alguien que sabe un poquito de todo. Un erizo es una criatura que sabe muy, muy bien una cosa. Y ninguno es mejor que el otro. Se complementan. Quiero decir, en matemáticas, se necesitan personas que sean realmente expertos en un subcampo y que conozcan un tema de adentro hacia afuera. Y necesitas personas que puedan ver las conexiones entre un campo y otro. Definitivamente me identifico como un zorro, pero trabajo con muchos erizos. El trabajo del que estoy más orgulloso suele ser una colaboración como esa.

STROGATZ: Oh sí. ¿Se dan cuenta de que son erizos?

TAO: Bueno, está bien, los roles cambian con el tiempo. Hay otras colaboraciones en las que yo soy el erizo y alguien más es el zorro. Estos no son permanentes; ya sabes, no están en tu ADN.

STROGATZ: Ah, buen punto. Podemos adoptar, podemos usar ambas capas.

Bueno, ¿qué pasa con si hubo una respuesta al ensayo en ese momento? ¿La gente te respondió algo?

TAO: Obtuve una respuesta bastante positiva en general. Quiero decir, el Boletín de la AMS Creo que no es una publicación de gran circulación. Y además, realmente no dije nada demasiado controversial. Además, este tipo de redes sociales son anteriores, así que creo que tal vez haya algunos blogs de matemáticas que lo retomaron, pero no existía Twitter. No había nada que lo hiciera viral.

Sí, también creo que, en general, los matemáticos no dedican gran parte de su tiempo y capital intelectual a la especulación. Quiero decir, hay otro matemático llamado kim min hyong que tenía esta metáfora muy bonita de que, para los matemáticos, la credibilidad es como la moneda, como el dinero. Si demuestras teoremas y demuestras que conoces el tema, de alguna manera estás acumulando esta moneda de credibilidad en el banco. Y una vez que tenga suficiente dinero, podrá permitirse el lujo de especular un poco siendo un poco filosófico y diciendo lo que podría ser cierto en lugar de lo que realmente puede probar.

Pero tendemos a ser conservadores y no queremos un sobregiro en nuestra cuenta bancaria. Ya sabes, no quieres que la mayor parte de tus escritos sean especulativos y que solo el uno por ciento realmente pruebe algo.

STROGATZ: Me parece bien. Entonces, está bien. Entonces, han pasado muchos años desde entonces. ¿De qué estamos hablando? Son más de 15 años.

TAO: Oh sí, el tiempo vuela.

STROGATZ: ¿Ha cambiado tu opinión? ¿Hay algo que debamos revisar?

TAO: Bueno, la cultura de las matemáticas está cambiando bastante. Ya tenía una visión amplia de las matemáticas y ahora tengo una visión aún más amplia.

Así, un ejemplo muy concreto es: Las pruebas asistidas por ordenador todavía eran controvertidas en 2007. Había una conjetura famosa llamada conjetura de Kepler, que se refiere a la forma más eficiente de empaquetar bolas unitarias en un espacio tridimensional. Y hay un empaque estándar, creo que se llama empaque central cúbico o algo así, que Kepler conjeturó que era el mejor posible.

Esto finalmente se resolvió, pero el la prueba fue muy asistida por computadora. Fue bastante complicado y [Tomás] HalesFinalmente, creó todo un lenguaje informático para verificar formalmente esta prueba en particular, pero no fue aceptada como una prueba real durante muchos años. Pero ilustró cuán controvertido era el concepto de una prueba que necesitaba asistencia informática para verificar.

En los años transcurridos desde entonces, ha habido muchos, muchos otros ejemplos de pruebas en las que un humano puede reducir un problema complicado a algo que aún requiere una computadora para verificar. Y luego la computadora continúa y lo verifica. Hemos desarrollado prácticas sobre cómo hacer esto de manera responsable. Ya sabes, cómo publicar código y datos y formas de verificar cosas nuevas de código abierto, etc. Y ahora existe una amplia aceptación de las pruebas asistidas por computadora.

Ahora creo que el próximo cambio cultural será si se aceptarán pruebas generadas por IA. En este momento, las herramientas de inteligencia artificial no están al nivel en el que puedan generar pruebas para avanzar realmente en problemas matemáticos. Tal vez las tareas a nivel de pregrado, las puedan manejar, pero la investigación en matemáticas, todavía no están en ese nivel. Pero en algún momento, comenzaremos a ver artículos asistidos por IA y habrá un debate.

La forma en que nuestra cultura ha cambiado en algunos aspectos... En 2007, sólo una fracción de los matemáticos hacían disponibles sus preimpresiones antes de publicarlas. Los autores guardarían celosamente sus preimpresiones hasta recibir la notificación de aceptación de la revista. Y luego podrían compartir.

Pero ahora todos se ponen sus papeles. servidores públicos como el arXiv. Hay mucha más apertura para publicar videos y publicaciones de blogs sobre de dónde provienen las ideas de un artículo. Porque la gente se da cuenta de que esto es lo que hace que el trabajo sea más influyente e impactante. Si intentas no publicitar tu trabajo y ser muy reservado al respecto, no causará sensación.

Las matemáticas se han convertido mucho más colaborativo. Ya sabes, hace 50 años, yo diría que la mayoría de los artículos sobre matemáticas eran de un solo autor. Ahora bien, definitivamente la mayoría son dos, tres o cuatro autores. Y recién estamos comenzando a ver proyectos realmente grandes como los que hacemos en las ciencias, ya sabes, como decenas, cientos de personas que colaboran. Esto todavía es difícil de lograr para los matemáticos, pero creo que vamos a lograrlo.

Al mismo tiempo, nos estamos volviendo mucho más interdisciplinarios. Estamos trabajando mucho más con otras ciencias. Estamos trabajando entre campos de las matemáticas. Y gracias a Internet, podemos colaborar con personas de todo el mundo. Entonces, la forma en que hacemos matemáticas definitivamente está cambiando.

Espero que en el futuro podamos utilizar más la comunidad matemática amateur. Hay otros campos como la astronomía, donde los astrónomos hacen un gran uso de la comunidad de astronomía amateur, como, ya sabes, muchos cometas, por ejemplo, son encontrados por aficionados.

Pero los matemáticos... Hay algunas áreas aisladas de las matemáticas, como el mosaico, el mosaico bidimensional y tal vez la búsqueda de registros en números primos. Hay algunos campos muy selectos de las matemáticas en los que los aficionados contribuyen y son bienvenidos. Pero hay muchas barreras. En la mayoría de las áreas de las matemáticas, se necesita tanta capacitación y sabiduría internalizada o convencional que no podemos obtener cosas de forma colectiva. Pero esto puede cambiar en el futuro. Quizás un impacto de la IA sería permitir que los matemáticos aficionados contribuyan significativamente a las matemáticas.

STROGATZ: Eso es muy interesante.

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STROGATZ: Entonces, ¿los aficionados podrían, con la ayuda de las IA, hacer nuevas preguntas que sean buenas o ayudar con buenas exploraciones de preguntas existentes, ese tipo de cosas?

TAO: Hay muchas modalidades diferentes, sí. Así, por ejemplo, ahora hay proyectos para formalizar demostraciones de grandes teoremas en estas cosas llamadas asistentes de prueba formal, que son como lenguajes informáticos que pueden verificar al 100% si un teorema es verdadero o no y está probado o no. En realidad, esto permite una colaboración a gran escala en matemáticas.

Entonces, en el pasado, si colaboras con otras 10 personas para demostrar un teorema, y ​​cada uno contribuye con un paso, todos tienen que verificar las matemáticas de los demás. Porque lo que pasa con las matemáticas es que si un paso tiene un error, todo puede desmoronarse.

Por lo tanto, se necesita confianza y, por lo tanto, esto impide, realmente inhibe, colaboraciones a gran escala en matemáticas. Pero ahora hay, ha habido ejemplos exitosos de formalización de teoremas realmente grandes donde hay una gran comunidad, no todos se conocen, no todos confían entre sí, pero se comunican subiéndolos a algún repositorio de Github o algo así como pruebas individuales de pasos individuales en el argumento. Y el software de prueba formal lo verifica todo, por lo que no necesita preocuparse por la confianza. Por lo tanto, estamos habilitando nuevos modos de colaboración, que en realidad no habíamos visto en el pasado.

STROGATZ: Es realmente interesante escuchar tu visión, Terry. Es un pensamiento fascinante. No se escucha la frase “ciudadano matemático”. Se oye hablar de ciencia ciudadana, pero ¿por qué no de matemáticas ciudadanas?

Pero me pregunto: ¿hay alguna tendencia que le preocupe, por ejemplo, con las pruebas asistidas por computadora o las pruebas generadas por IA? ¿Sabremos que ciertos resultados son ciertos, pero no entenderemos por qué?

TAO: Entonces eso es un problema. Quiero decir, ya es un problema incluso antes de la llegada de la IA. Entonces, hay muchos campos donde los artículos de una materia son cada vez más largos, cientos de páginas. Y tengo la esperanza de que la IA pueda, a la inversa, ayudar a simplificar y explicar, además de demostrar.

Entonces, ya existe un software experimental donde, si tomas una prueba que ha sido formalizada, puedes convertirla en un documento interactivo legible por humanos, donde tienes la prueba y ves los pasos de alto nivel y si hay una oración. Si no comprende, puede hacer doble clic en él y se expandirá en pasos más pequeños. Pronto creo que también podrás tener un chatbot de IA sentado a tu lado mientras revisas la prueba, y ellos podrán responder preguntas y explicar cada paso como si fueran el autor. Creo que ya estamos muy cerca de eso.

Hay preocupaciones. Tenemos que cambiar la forma en que educamos a nuestros estudiantes, particularmente ahora que muchas de nuestras formas tradicionales de asignar tareas y demás, estamos casi en el punto en que estas herramientas de inteligencia artificial pueden responder instantáneamente muchas de nuestras preguntas de exámenes estándar. Por eso, debemos enseñar a nuestros estudiantes nuevas habilidades, como cómo verificar si un resultado generado por IA es correcto o no y cómo obtener una segunda opinión.

Y es posible que veamos el advenimiento de un lado más experimental de las matemáticas, ¿sabes? Así, las matemáticas son casi enteramente teóricas, mientras que la mayoría de las ciencias tienen un componente tanto teórico como experimental. Es posible que con el tiempo tengamos resultados que al principio sólo sean probados por computadoras y, como usted dice, no entendamos. Pero una vez que tengamos los datos que proporciona la IA, las pruebas generadas por computadora, podremos realizar experimentos.

Ahora hay un poco de matemáticas experimentales. La gente estudia, por ejemplo, grandes conjuntos de datos de diversas cosas, curvas elípticas, por ejemplo. Pero podría llegar a ser mucho más grande en el futuro.

STROGATZ: Vaya, tienes una visión muy optimista, me parece a mí. No es que la Edad de Oro haya quedado en el pasado. Si te entiendo bien, crees que hay muchas cosas muy interesantes por delante.

TAO: Sí, muchas de las nuevas herramientas tecnológicas son muy enriquecedoras. Quiero decir, la IA en general tiene muchas ventajas y desventajas complejas. Y fuera de las ciencias, hay muchas posibles perturbaciones en la economía, los derechos de propiedad intelectual, etc. Pero en matemáticas, creo que la proporción entre lo bueno y lo malo es mejor que en muchas otras áreas.

Y, ya sabes, Internet realmente ha transformado la forma en que hacemos matemáticas. Colaboro con mucha gente en muchos campos diferentes. No podría hacer esto sin Internet. El hecho de que puedo ir a Wikipedia o lo que sea y comenzar a aprender un tema, puedo enviar un correo electrónico a alguien y podemos colaborar en línea. Si tuviera que hacer cosas a la antigua usanza en las que solo podía hablar con personas de mi departamento y usar el correo físico para todo lo demás, no podría hacer los cálculos que hago ahora.

STROGATZ: Vaya, está bien. Sólo tengo que subrayar lo que acabas de decir, porque ni en un millón de años pensé que iba a escuchar esto: ¿Terry Tao lee Wikipedia para aprender matemáticas?

TAO: Como punto de partida. Quiero decir, no siempre es Wikipedia, pero solo para obtener las palabras clave, luego haré una búsqueda más especializada de, digamos, MatemáticasCiencia o alguna otra base de datos. Pero sí.

STROGATZ: No es una crítica. Quiero decir, hago lo mismo. En realidad, Wikipedia es, si hay alguna crítica a las matemáticas en Wikipedia, tal vez sea que a veces es demasiado avanzada para los lectores a los que está destinada, creo. No siempre. Quiero decir, depende. Varía mucho de un artículo a otro. Pero eso es simplemente gracioso. Me encanta escuchar eso.

TAO: Quiero decir, estas herramientas deben poder examinar el resultado. Ya sabes, quiero decir, la razón por la que puedo usar Wikipedia para hacer matemáticas es porque ya sé suficientes matemáticas como para poder oler si un fragmento de Wikipedia en matemáticas es sospechoso o no. Ya sabes, puede obtener algunas fuentes y una de ellas será una fuente mejor que la otra. Y conozco a los autores y tengo una idea de qué referencia será mejor para mí. Si usara Wikipedia para aprender sobre un tema en el que no tenía experiencia, entonces creo que sería más bien una variable aleatoria.

STROGATZ: Bueno, hemos estado hablando bastante sobre qué es lo que constituye una buena matemática, el posible futuro para nuevos tipos de buena matemática. Pero tal vez deberíamos abordar la pregunta: ¿Por qué esto importa? ¿Por qué es importante que las matemáticas sean buenas?

TAO: Bueno, primero que nada, quiero decir, ¿por qué tenemos matemáticos? ¿Por qué la sociedad valora a los matemáticos y nos da los recursos para hacer lo que hacemos? Ya sabes, es porque proporcionamos algún valor. Podemos tener aplicaciones al mundo real. Hay interés intelectual y algunas de las teorías que desarrollamos acaban proporcionando información sobre otros fenómenos.

Y no todas las matemáticas tienen el mismo valor. Quiero decir, podrías calcular más y más dígitos de pi, pero en algún momento no aprendes nada. Cualquier tema necesita algún tipo de juicio de valor porque hay que asignar recursos. Hay tantas matemáticas por ahí. ¿Qué avances desea resaltar, publicitar y dar a conocer a otras personas, y cuáles tal vez deberían simplemente estar sentados en silencio en un diario en alguna parte?

Incluso si piensas que un tema es completamente objetivo y, ya sabes, sólo hay verdadero o falso, todavía tenemos que tomar decisiones. Ya sabes, simplemente porque el tiempo es un recurso limitado. La atención es un recurso limitado. El dinero es un recurso limitado. Entonces, estas son siempre preguntas importantes.

STROGATZ: Bueno, es interesante que menciones lo de la publicidad, porque es algo que creo que es un rasgo distintivo de tu trabajo, que también te has esforzado mucho para que las matemáticas sean accesibles públicamente a través de tu blog, a través de varios artículos que publicas. He escrito. Recuerdo haber hablado de uno que escribiste en Científico estadounidense sobre la universalidad y esa idea. ¿Por qué es importante hacer que las matemáticas sean accesibles y comprensibles públicamente? Quiero decir, ¿qué es lo que estás intentando hacer?

TAO: En cierto modo sucedió de forma orgánica. Al principio de mi carrera, la World Wide Web todavía era muy nueva y los matemáticos empezaron a tener páginas web con diversos contenidos, pero no había mucho como un directorio central. Antes de Google y demás, en realidad era difícil encontrar recursos individuales.

Entonces, comencé a hacer una especie de pequeños directorios en mi página web. Y también crearía páginas web para mis propios artículos y haría algunos comentarios. Al principio, era más para mi propio beneficio, sólo como una herramienta organizativa, sólo para ayudarme a encontrar cosas. Como subproducto, estaba disponible para el público, pero yo era una especie de consumidor principal, o al menos eso pensaba, de mis propias páginas web.

Pero recuerdo muy claramente que hubo una vez en la que escribí un artículo y lo puse en mi página web, y tenía una pequeña subpágina llamada "¿Qué hay de nuevo?" Y yo simplemente dije: “Aquí tienes un documento. Hay una pregunta que todavía no puedo responder y no sé cómo resolverla”. Y acabo de hacer este comentario. Y luego, como dos días después, recibí un correo electrónico que decía: “Oh, estaba revisando tu página de inicio. Sé la respuesta a esto. Hay un documento que resolverá tu problema”.

Y me hizo darme cuenta, en primer lugar, de que la gente estaba visitando mi página web, algo que yo realmente no sabía. Pero esa interacción con la comunidad realmente podría ayudarme a resolver mis preguntas directamente.

Hay esta ley llamada La ley de Metcalfe en redes. eso, ya sabes, si tienes n personas, y todos hablan entre sí, hay aproximadamente n² conexiones entre ellos. Y así, cuanto mayor sea la audiencia y el foro donde todos puedan hablar entre sí, más conexiones potenciales podrás hacer y más cosas buenas podrán suceder.

Quiero decir, en mi carrera, muchos de los descubrimientos que he hecho o las conexiones que he hecho se deben a una conexión inesperada. Toda mi experiencia profesional ha sido que más conexiones equivalen a que sucedan mejores cosas.

STROGATZ: Creo que un hermoso ejemplo de a lo que te refieres, pero me encantaría escucharte hablar de ello, son las conexiones que hiciste con personas en ciencia de datos que están interesadas en cuestiones relacionadas con las imágenes por resonancia médica. , resonancia magnética. ¿Podrías contarnos un poco sobre esa historia?

TAO: Entonces, esto fue alrededor de 2006, 2005, creo. Entonces, hubo un programa interdisciplinario aquí en el campus de UCLA sobre, creo, análisis geométrico multiescala, o algo así, donde estaban reuniendo a matemáticos puros que estaban interesados ​​en una especie de geometría de tipo multiescala por derecho propio, y luego, ya sabes, personas que tenían problemas de tipos de datos muy concretos.

Y acababa de empezar a trabajar en algunos problemas de teoría de matrices aleatorias, por lo que se me conocía como alguien que podía manipular matrices. Y conocí a alguien que ya conocía, emmanuel candes, porque en ese momento trabajaba justo al lado en Caltech. Y él y otro colaborador, Justin Romberg, habían descubierto este fenómeno inusual.

Estaban mirando imágenes de resonancia magnética, pero son muy lentas. Para recopilar suficientes imágenes de muy alta resolución de un cuerpo humano, o suficientes para tal vez detectar un tumor, o cualquier característica médicamente importante que desee encontrar, a menudo lleva varios minutos porque tienen que escanear todos estos ángulos diferentes y luego sintetizar los datos. . Y esto era un problema, en realidad, porque los niños pequeños, por ejemplo, simplemente quedarse quietos durante tres minutos en la máquina de resonancia magnética era bastante problemático.

Entonces estaban experimentando de una manera diferente, usando algo de álgebra lineal. Esperaban obtener una mejora del rendimiento entre un 10% y un 20%. Ya sabes, una imagen un poco más nítida modificando un poco el algoritmo estándar.

Entonces el algoritmo estándar se llamó aproximación de mínimos cuadrados, y estaban haciendo algo más, llamado minimización de la variación total. Pero luego, cuando ejecutaron el software de la computadora, obtuvieron una reconstrucción casi perfecta de su imagen de prueba. Mejora enorme, enorme. Y no podían explicar esto.

Pero Emmanuel estaba en este programa y estábamos charlando mientras tomamos el té o algo así. Y él acaba de mencionar esto y, de hecho, mi primer pensamiento fue que debes haber cometido un error en tu cálculo, que lo que estás diciendo en realidad no es posible. Y recuerdo haber regresado a casa esa noche y haber tratado de escribir una prueba real de que lo que estaban viendo no podía suceder en realidad. Y luego, a mitad de camino, me di cuenta de que había hecho una suposición que no era cierta. Y luego me di cuenta de que en realidad podría funcionar. Y luego descubrí cuál podría ser la explicación. Y luego trabajamos juntos y encontramos una buena explicación y la publicamos.

Y una vez que hicimos eso, la gente se dio cuenta de que había muchas otras situaciones en las que había que tomar una medición que normalmente requería muchísimos datos, y en algunos casos se puede tomar una cantidad mucho menor de datos y aún así obtener un resultado realmente alto. medición de resolución.

Ahora, las máquinas de resonancia magnética modernas, por ejemplo: un escaneo que solía tomar tres minutos ahora puede tomar 30 segundos porque este software, este algoritmo está cableado y codificado en las máquinas ahora.

STROGATZ: Es una historia hermosa, es una gran historia. Quiero decir, hablar de matemáticas importantes que están cambiando vidas, literalmente, en este contexto de imágenes médicas. Me encanta la casualidad de esto y tu mentalidad abierta, ya sabes, para escuchar esta idea y luego pensar, bueno, "esto es imposible, puedo probarlo". Y luego darme cuenta de que no, en realidad. Es fantástico ver que las matemáticas tienen tal impacto.

Bueno, está bien, creo que será mejor que te deje ir, Terry. Ha sido un verdadero placer discutir contigo la esencia de las buenas matemáticas. Muchas gracias por acompañarnos hoy.

TAO: Sí, no, ha sido un placer. 

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STROGATZ: “La alegría del por qué” es un podcast de Quanta revista, una publicación editorialmente independiente apoyada por la Fundación Simons. Las decisiones de financiación de la Fundación Simons no tienen influencia en la selección de temas, invitados u otras decisiones editoriales en este podcast o en Quanta revista.

“La alegría del porqué” es producida por Producciones PRX. El equipo de producción está formado por Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler y Merritt Jacob. La productora ejecutiva de PRX Productions es Jocelyn Gonzales. Morgan Church y Edwin Ochoa brindaron asistencia adicional. De Quanta revista, John Rennie y Thomas Lin brindaron orientación editorial, con el apoyo de Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana y Madison Goldberg.

Nuestro tema musical es de APM Music. A Julian Lin se le ocurrió el nombre del podcast. El arte del episodio es de Peter Greenwood y nuestro logotipo es de Jaki King y Kristina Armitage. Un agradecimiento especial a la Escuela de Periodismo de Columbia y a Burt Odom-Reed de Cornell Broadcast Studios.

Soy su anfitrión, Steve Strogatz. Si tiene alguna pregunta o comentario para nosotros, envíenos un correo electrónico a GME@dhr-rgv.com. Gracias por su atención.