A nuestro alrededor se producen procesos aleatorios. Un día llueve pero al siguiente no; las acciones y los bonos ganan y pierden valor; Los atascos de tráfico se fusionan y desaparecen. Debido a que están gobernados por numerosos factores que interactúan entre sí de manera complicada, es imposible predecir el comportamiento exacto de dichos sistemas. En cambio, pensamos en ellos en términos de probabilidades, caracterizando los resultados como probables o raros.

Hoy, el teórico francés de la probabilidad michel talagrand recibió el Premio Abel, uno de los más altos honores en matemáticas, por desarrollar una comprensión profunda y sofisticada de tales procesos. El premio, presentado por el rey de Noruega, sigue el modelo del Nobel y está dotado con 7.5 millones de coronas noruegas (unos 700,000 dólares). Cuando le dijeron que había ganado, “mi mente se quedó en blanco”, dijo Talagrand. “El tipo de matemáticas que hago no estaba nada de moda cuando empecé. Se consideraba matemática inferior. El hecho de que me hayan concedido este premio es prueba absoluta de que no es así”.

Otros matemáticos están de acuerdo. El trabajo de Talagrand "cambió mi forma de ver el mundo", dijo Asaf Naor de la Universidad de Princeton. Hoy, agregado Helge Holden, presidente del comité del premio Abel, “se está volviendo muy popular describir y modelar eventos del mundo real mediante procesos aleatorios. La caja de herramientas de Talagrand aparece inmediatamente”.

Talagrand ve su propia vida como una cadena de acontecimientos improbables. Apenas pasó la escuela primaria en Lyon: aunque le interesaban las ciencias, no le gustaba estudiar. Cuando tenía 5 años perdió la vista en su ojo derecho luego de que se le desprendió la retina; a los 15 años sufrió tres desprendimientos de retina en el otro ojo, lo que le obligó a pasar un mes en el hospital, con los ojos vendados, por temor a quedarse ciego. Su padre, un profesor de matemáticas, lo visitaba todos los días y mantenía su mente ocupada enseñándole matemáticas. “Así aprendí el poder de la abstracción”, Talagrand escribió en 2019 después de ganar el Premio Shaw, otro importante premio de matemáticas que viene con una recompensa de 1.2 millones de dólares. (Talagrand está utilizando parte de este dinero, junto con sus ganancias Abel, para fundar su propio premio, “reconociendo los logros de jóvenes investigadores en las áreas a las que he dedicado mi vida”).

Se perdió medio año de escuela mientras se recuperaba, pero se animó a empezar a centrarse en sus estudios. Destacó en matemáticas y, tras graduarse de la universidad en 1974, fue contratado por el Centro Nacional Francés de Investigaciones Científicas, el instituto de investigación más grande de Europa, donde trabajó hasta su jubilación en 2017. Durante ese tiempo obtuvo su doctorado; se enamoró a primera vista de su futura esposa, una estadística (le propuso matrimonio tres días después de conocerla); y gradualmente desarrolló un interés en la probabilidad, publicando cientos de artículos sobre el tema.

Eso no estaba predeterminado. Talagrand comenzó su carrera estudiando espacios geométricos de alta dimensión. “Durante 10 años no había descubierto en qué era bueno”, dijo. Pero no se arrepiente de este desvío. Con el tiempo, esto lo llevó a la teoría de la probabilidad, donde "tenía este otro punto de vista... que me dio una manera de ver las cosas de manera diferente", dijo. Le permitió examinar procesos aleatorios a través de la lente de la geometría de alta dimensión.

"Aporta su intuición geométrica para resolver cuestiones puramente probabilísticas", dijo Naor.

Un proceso aleatorio es una colección de eventos cuyos resultados varían según el azar de una manera que se puede modelar, como una secuencia de lanzamientos de monedas, o las trayectorias de los átomos en un gas, o las precipitaciones totales diarias. Los matemáticos quieren comprender la relación entre los resultados individuales y el comportamiento agregado. ¿Cuántas veces tienes que lanzar una moneda para saber si es justa? ¿Se desbordará un río?

Talagrand se centró en procesos cuyos resultados se distribuyen según una curva en forma de campana llamada gaussiana. Estas distribuciones son comunes en la naturaleza y tienen varias propiedades matemáticas deseables. Quería saber qué se puede decir con certeza sobre los resultados extremos en estas situaciones. De modo que demostró un conjunto de desigualdades que imponen límites superiores e inferiores estrictos a los posibles resultados. “Obtener una buena desigualdad es una obra de arte”, dijo Holden. Ese arte es útil: los métodos de Talagrand pueden dar una estimación óptima de, digamos, el nivel más alto al que podría subir un río en los próximos 10 años, o la magnitud del posible terremoto más fuerte.

Cuando tratamos con datos complejos y de alta dimensión, encontrar esos valores máximos puede resultar complicado.

Supongamos que desea evaluar el riesgo de inundación de un río, que dependerá de factores como las precipitaciones, el viento y la temperatura. Puedes modelar la altura del río como un proceso aleatorio. Talagrand pasó 15 años desarrollando una técnica llamada encadenamiento genérico que le permitió crear un espacio geométrico de alta dimensión relacionado con un proceso tan aleatorio. Su método "ofrece una manera de leer el máximo de la geometría", dijo Naor.

La técnica es muy general y, por tanto, ampliamente aplicable. Supongamos que desea analizar un conjunto de datos masivo y de alta dimensión que depende de miles de parámetros. Para llegar a una conclusión significativa, es necesario preservar las características más importantes del conjunto de datos y al mismo tiempo caracterizarlo en términos de unos pocos parámetros. (Por ejemplo, esta es una forma de analizar y comparar las estructuras complicadas de diferentes proteínas). Muchos métodos de última generación logran esta simplificación aplicando una operación aleatoria que asigna los datos de alta dimensión a un espacio de menor dimensión. . Los matemáticos pueden utilizar el método de encadenamiento genérico de Talagrand para determinar la cantidad máxima de error que introduce este proceso, lo que les permite determinar las posibilidades de que alguna característica importante no se conserve en el conjunto de datos simplificado.

El trabajo de Talagrand no se limitó sólo a analizar los mejores y peores resultados posibles de un proceso aleatorio. También estudió lo que sucede en el caso promedio.

En muchos procesos, los eventos individuales aleatorios pueden, en conjunto, conducir a resultados altamente deterministas. Si las mediciones son independientes, entonces los totales se vuelven muy predecibles, incluso si cada evento individual es imposible de predecir. Por ejemplo, lanza una moneda justa. No se puede decir nada de antemano sobre lo que sucederá. Dale la vuelta 10 veces y obtendrás cuatro, cinco o seis caras (cerca del valor esperado de cinco caras) aproximadamente el 66% de las veces. Pero lanza la moneda 1,000 veces y obtendrás entre 450 y 550 caras el 99.7% de las veces, un resultado que se concentra aún más en torno al valor esperado de 500. "Es excepcionalmente nítido alrededor de la media", dijo Holden.

"Aunque algo tiene tanta aleatoriedad, la aleatoriedad se anula a sí misma", dijo Naor. "Lo que inicialmente parecía un desastre horrible, en realidad está organizado".

Este fenómeno, conocido como concentración de medida, también ocurre en procesos aleatorios mucho más complicados. Talagrand ideó un conjunto de desigualdades que permiten cuantificar esa concentración y demostró que surge en muchos contextos diferentes. Sus técnicas marcaron una desviación de trabajos anteriores en el área. Demostrar la primera desigualdad de este tipo, escribió en su ensayo de 2019, fue “una experiencia mágica”. Estaba “en un estado de euforia constante”.

Está particularmente orgulloso de una de sus desigualdades de concentración posteriores. "No es fácil obtener un resultado que intente pensar en el universo y que al mismo tiempo tenga una prueba de una página que sea fácil de explicar", dijo. (Recuerda con deleite que una vez utilizó un servicio de taxi cuyo dueño reconoció su nombre, después de haber aprendido la desigualdad durante una clase de probabilidad en la escuela de negocios. “Eso fue extraordinario”, dijo).

Al igual que su método de encadenamiento genérico, las desigualdades de concentración de Talagrand aparecen en todas las matemáticas. "Es sorprendente hasta dónde llega", dijo Naor. "Las desigualdades de Talagrand son los tornillos que mantienen unidas las cosas".

Considere un problema de optimización en el que hay que clasificar elementos de diferentes tamaños en contenedores: un modelo de asignación de recursos. Cuando tienes muchos artículos, es muy difícil calcular la menor cantidad de contenedores que necesitarás. Pero las desigualdades de Talagrand pueden indicarle cuántos contenedores es probable que necesite si los tamaños de los artículos son aleatorios.

Se han utilizado métodos similares para probar fenómenos de concentración en combinatoria, física, informática, estadística y otros entornos.

Más recientemente, Talagrand aplicó su conocimiento de los procesos aleatorios para demostrar una conjetura importante sobre los vidrios giratorios, materiales magnéticos desordenados creados por interacciones aleatorias y a menudo conflictivas. Talagrand estaba frustrado porque, aunque los lentes giratorios están matemáticamente bien definidos, los físicos los entendían mejor que los matemáticos. "Fue una espina clavada en nuestro pie", dijo. Probó un resultado (sobre la llamada energía libre de los cristales giratorios) que proporcionó la base para una teoría más matemática.

A lo largo de su carrera, la investigación de Talagrand ha estado marcada por "esta capacidad de simplemente dar un paso atrás y encontrar principios generales que sean reutilizables en todas partes", dijo Naor. “Revisita y revisita, y piensa en algo desde todo tipo de perspectivas. Y, finalmente, presenta una idea que se convierte en un caballo de batalla que todo el mundo utiliza”.

“Me gusta entender muy bien las cosas simples porque mi cerebro es muy lento”, dijo Talagrand. “Así que pienso en ellos durante mucho, mucho tiempo”. Lo impulsa, dijo, el deseo de “comprender algo profundamente, de una manera pura, lo que hace que la teoría sea mucho más fácil. Entonces la próxima generación podrá empezar desde ahí y progresar en sus propios términos”.

Durante la última década, lo ha logrado escribiendo libros de texto, no sólo sobre procesos aleatorios y lentes giratorios, sino también sobre un área en la que no trabaja en absoluto: la teoría cuántica de campos. Quería aprender sobre ello, pero se dio cuenta de que todos los libros de texto que pudo encontrar estaban escritos por y para físicos, no matemáticos. Entonces él mismo escribió uno. “Cuando ya no puedas inventar cosas, podrás explicarlas”, dijo.